Упр.1102 ГДЗ Колягин Ткачёва 11 класс (Алгебра)

1. Доказать, что при $$-1 \leq x \leq 1$$ сумма $$\arcsin x+\arccos x$$ равна $$C$$, где $$C$$ — постоянная. Найти $$C$$.

Пусть

$$S=\arcsin x+\arccos x,$$

где $$-1\le x\le 1.$$

Найдём $$\sin S$$:

$$\sin(\arcsin x+\arccos x)=\sin(\arcsin x)\cos(\arccos x)+\cos(\arcsin x)\sin(\arccos x).$$

Так как

$$\sin(\arcsin x)=x,\qquad \cos(\arccos x)=x,$$

$$\cos(\arcsin x)=\sqrt{1-x^2},\qquad \sin(\arccos x)=\sqrt{1-x^2},$$

то

$$\sin S=x\cdot x+\sqrt{1-x^2}\cdot \sqrt{1-x^2}=x^2+(1-x^2)=1.$$

Следовательно, $$S=\frac{\pi}{2}+2\pi n,$$ где $$n\in\mathbb Z.$$

Но

$$-\frac{\pi}{2}\le \arcsin x\le \frac{\pi}{2},\qquad 0\le \arccos x\le \pi,$$

значит

$$0\le S\le \frac{3\pi}{2}.$$

Из всех значений вида $$\frac{\pi}{2}+2\pi n$$ этому промежутку принадлежит только

$$S=\frac{\pi}{2}.$$

Ответ

$$C=\frac{\pi}{2}.$$