Упр.1101 ГДЗ Колягин Ткачёва 11 класс (Алгебра)

1. Найти площадь фигуры, ограниченной графиком функции $$y=9x-x^3$$ и касательной к этому графику в его точке с абсциссой $$3$$.

Найдём уравнение касательной к графику функции $$y=9x-x^3$$ в точке с абсциссой $$x_0=3$$.

Производная:

$$y’ = 9-3x^2.$$

Тогда

$$y'(3)=9-3\cdot 3^2=9-27=-18,$$

$$y(3)=9\cdot 3-3^3=27-27=0.$$

Уравнение касательной:

$$y-0=-18(x-3),$$

то есть

$$y=54-18x.$$

Найдём точки пересечения графика и касательной:

$$9x-x^3=54-18x,$$

$$x^3-27x+54=0,$$

$$x^3-27x+54=(x-3)(x^2+3x-18)=(x-3)^2(x+6).$$

Отсюда точки пересечения: $$x=-6$$ и $$x=3$$.

На отрезке $$[-6;3]$$ касательная расположена выше графика, поэтому площадь фигуры равна

$$S=\int\limits_{-6}^{3}\bigl((54-18x)-(9x-x^3)\bigr)\,dx=\int\limits_{-6}^{3}(54-27x+x^3)\,dx.$$

Вычислим интеграл:

$$S=\left(54x-\frac{27x^2}{2}+\frac{x^4}{4}\right)\Bigg|_{-6}^{3}.$$

Подставим пределы:

$$S=\left(54\cdot 3-\frac{27\cdot 3^2}{2}+\frac{3^4}{4}\right)-\left(54\cdot(-6)-\frac{27\cdot(-6)^2}{2}+\frac{(-6)^4}{4}\right).$$

$$S=\left(162-\frac{243}{2}+\frac{81}{4}\right)-\left(-324-486+324\right) =\frac{81}{4}+\frac{486}{1} =\frac{2187}{4}.$$

$$\frac{2187}{4}=546{,}75.$$

Ответ

$$546{,}75$$