Упр.1100 ГДЗ Колягин Ткачёва 11 класс (Алгебра)

Задача

2) y = 3х, x = -1, x = 1, y = 0;
3) y = 2cos3x-5sin2x + 10, y = 0, х = — 3пи/4, х = 5пи/4.

Подробный ответ

$$y=\cos x,\quad x=\frac{\pi}{4},\quad y=0.$$
Точки пересечения графиков:
$$\cos x=0,\qquad x=\frac{\pi}{2}+\pi n.$$
На отрезке $$\left[\frac{\pi}{4},\frac{\pi}{2}\right]$$ площадь равна
$$S_1=\int\limits_{\pi/4}^{\pi/2}\cos x\,dx=\sin x\Big|_{\pi/4}^{\pi/2}=\sin\frac{\pi}{2}-\sin\frac{\pi}{4}=1-\frac{\sqrt2}{2}=\frac{2-\sqrt2}{2}.$$
На отрезке $$\left[-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{4}\right]$$ площадь равна
$$S_2=\int\limits_{-\pi/2}^{\pi/4}\cos x\,dx=\sin x\Big|_{-\pi/2}^{\pi/4}=\sin\frac{\pi}{4}-\sin\left(-\frac{\pi}{2}\right)=\frac{\sqrt2}{2}+1=\frac{2+\sqrt2}{2}.$$
$$y=3^x,\quad x=-1,\quad x=1,\quad y=0.$$
Площадь фигуры:
$$S=\int\limits_{-1}^{1}3^x\,dx=\left.\frac{3^x}{\ln 3}\right|_{-1}^{1}=\frac{3-\frac13}{\ln 3}=\frac{8}{3\ln 3}.$$
$$y=2\cos 3x-5\sin 2x+10,\quad y=0,\quad x=-\frac{3\pi}{4},\quad x=\frac{5\pi}{4}.$$
Площадь фигуры:
$$ S=\int\limits_{-3\pi/4}^{5\pi/4}\left(2\cos 3x-5\sin 2x+10\right)\,dx $$
$$ =\left.\left(\frac{2}{3}\sin 3x+\frac{5}{2}\cos 2x+10x\right)\right|_{-3\pi/4}^{5\pi/4}. $$
$$ S=\left(\frac{2}{3}\sin\frac{15\pi}{4}+\frac{5}{2}\cos\frac{5\pi}{2}+\frac{50\pi}{4}\right) -\left(\frac{2}{3}\sin\left(-\frac{9\pi}{4}\right)+\frac{5}{2}\cos\left(-\frac{3\pi}{2}\right)-\frac{30\pi}{4}\right). $$
$$ S=\frac{2}{3}\left(-\frac{\sqrt2}{2}\right)+\frac{5}{2}\cdot 0+\frac{50\pi}{4} -\left(\frac{2}{3}\cdot\frac{\sqrt2}{2}+\frac{5}{2}\cdot 0-\frac{30\pi}{4}\right) =\frac{80\pi}{4}=20\pi. $$