Упр.1100 ГДЗ Колягин Ткачёва 11 класс (Алгебра)

1. $$y=\cos x,\quad x=2,\quad y=0$$
2. $$y=3x,\quad x=-1,\quad x=1,\quad y=0$$
3. $$y=2\cos 3x-5\sin 2x+10,\quad y=0,\quad x=-\frac{3\pi}{4},\quad x=\frac{5\pi}{4}$$

1. $$y=\cos x,\quad x=\frac{\pi}{4},\quad y=0.$$

   Точки пересечения графиков:

   $$\cos x=0,\qquad x=\frac{\pi}{2}+\pi n.$$

   На отрезке $$\left[\frac{\pi}{4},\frac{\pi}{2}\right]$$ площадь равна

   $$S_1=\int\limits_{\pi/4}^{\pi/2}\cos x\,dx=\sin x\Big|_{\pi/4}^{\pi/2}=\sin\frac{\pi}{2}-\sin\frac{\pi}{4}=1-\frac{\sqrt2}{2}=\frac{2-\sqrt2}{2}.$$

   На отрезке $$\left[-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{4}\right]$$ площадь равна

   $$S_2=\int\limits_{-\pi/2}^{\pi/4}\cos x\,dx=\sin x\Big|_{-\pi/2}^{\pi/4}=\sin\frac{\pi}{4}-\sin\left(-\frac{\pi}{2}\right)=\frac{\sqrt2}{2}+1=\frac{2+\sqrt2}{2}.$$

2. $$y=3^x,\quad x=-1,\quad x=1,\quad y=0.$$

   Площадь фигуры:

   $$S=\int\limits_{-1}^{1}3^x\,dx=\left.\frac{3^x}{\ln 3}\right|_{-1}^{1}=\frac{3-\frac13}{\ln 3}=\frac{8}{3\ln 3}.$$

3. $$y=2\cos 3x-5\sin 2x+10,\quad y=0,\quad x=-\frac{3\pi}{4},\quad x=\frac{5\pi}{4}.$$

   Площадь фигуры:

   $$S=\int\limits_{-3\pi/4}^{5\pi/4}\left(2\cos 3x-5\sin 2x+10\right)\,dx$$

   $$=\left.\left(\frac{2}{3}\sin 3x+\frac{5}{2}\cos 2x+10x\right)\right|_{-3\pi/4}^{5\pi/4}.$$

   $$S=\left(\frac{2}{3}\sin\frac{15\pi}{4}+\frac{5}{2}\cos\frac{5\pi}{2}+\frac{50\pi}{4}\right) -\left(\frac{2}{3}\sin\left(-\frac{9\pi}{4}\right)+\frac{5}{2}\cos\left(-\frac{3\pi}{2}\right)-\frac{30\pi}{4}\right).$$

   $$S=\frac{2}{3}\left(-\frac{\sqrt2}{2}\right)+\frac{5}{2}\cdot 0+\frac{50\pi}{4} -\left(\frac{2}{3}\cdot\frac{\sqrt2}{2}+\frac{5}{2}\cdot 0-\frac{30\pi}{4}\right) =\frac{80\pi}{4}=20\pi.$$

Ответ

$$\frac{2-\sqrt2}{2};\ \frac{2+\sqrt2}{2};\ \frac{8}{3\ln 3};\ 20\pi.$$