Упр.11 ГДЗ Колягин Ткачёва 11 класс (Алгебра)

Доказать, что функция $$f(x)$$ не является ограниченной в области её определения, если:

1. $$f(x)=\frac{\cos x}{x}$$;
2. $$f(x)=\frac{1}{x}\sin\frac{1}{x}$$.

1. $$f(x)=\frac{\cos x}{x}, \qquad x\ne 0.$$

   Так как $$-1\le \cos x\le 1,$$ то при $$x\to 0+$$ имеем $$\cos x\to 1.$$ Тогда

   $$\lim_{x\to 0+}\frac{\cos x}{x}=+\infty.$$

   Значит, функция не ограничена в области определения.

2. $$f(x)=\frac{1}{x}\sin\frac{1}{x}, \qquad x\ne 0.$$

   Так как $$-1\le \sin\frac{1}{x}\le 1,$$ то можно выбрать последовательность

   $$x_n=\frac{1}{\frac{\pi}{2}+2\pi n}, \qquad n\in\mathbb{N}.$$

   Тогда $$\sin\frac{1}{x_n}=1,$$ и

   $$f(x_n)=\frac{1}{x_n}\sin\frac{1}{x_n}=\frac{\pi}{2}+2\pi n\to +\infty.$$

   Следовательно, функция не ограничена в области определения.

Ответ

Обе функции не являются ограниченными в области определения.