Упр.1099 ГДЗ Колягин Ткачёва 11 класс (Алгебра)

2) у = х2, у = корень 3 степени х.

1. Найдём точки пересечения графиков $$y=9-x^2$$ и $$y=(x-1)^2-4$$:

   $$ 9-x^2=(x-1)^2-4 $$
   $$ 9-x^2=x^2-2x+1-4 $$
   $$ 2x^2-2x-12=0 $$
   $$ x^2-x-6=0 $$
   $$ (x-3)(x+2)=0 $$
   $$ x=-2,\; x=3 $$

   На отрезке $$[-2;3]$$ верхняя функция $$y=9-x^2$$, нижняя — $$y=(x-1)^2-4$$.

   $$ S=\int_{-2}^{3}\Bigl((9-x^2)-\bigl((x-1)^2-4\bigr)\Bigr)\,dx $$
   $$ S=\int_{-2}^{3}(12-2x^2+2x)\,dx $$
   $$ S=\left(12x-\frac{2x^3}{3}+x^2\right)\Bigg|_{-2}^{3} $$
   $$ S=\left(36-18+9\right)-\left(-24+\frac{16}{3}+4\right) $$
   $$ S=27-\left(-20+\frac{16}{3}\right)=27+\frac{44}{3}=\frac{125}{3} $$

2. Найдём точки пересечения графиков $$y=x^2$$ и $$y=\sqrt[3]{x}$$:

   $$ x^2=\sqrt[3]{x} $$
   $$ x^6=x $$
   $$ x(x^5-1)=0 $$
   $$ x=0,\; x=1 $$

   На отрезке $$[0;1]$$ верхняя функция $$y=\sqrt[3]{x}$$, нижняя — $$y=x^2$$.

   $$ S=\int_{0}^{1}\left(\sqrt[3]{x}-x^2\right)\,dx $$
   $$ S=\int_{0}^{1}\left(x^{1/3}-x^2\right)\,dx $$
   $$ S=\left(\frac{3}{4}x^{4/3}-\frac{x^3}{3}\right)\Bigg|_{0}^{1} $$
   $$ S=\frac{3}{4}-\frac{1}{3}=\frac{5}{12} $$

Ответ

1) $$\frac{125}{3}$$; 2) $$\frac{5}{12}$$.