Упр.1098 ГДЗ Колягин Ткачёва 11 класс (Алгебра)

1. $$y=\sqrt{x},\quad y=2,\quad x=9.$$

   Найдём точку пересечения графиков:

   $$\sqrt{x}=2,\quad x=4.$$

   Искомая площадь:

   $$S=\int\limits_{4}^{9}(\sqrt{x}-2)\,dx =\int\limits_{4}^{9}(x^{1/2}-2)\,dx =\left(\frac{2x^{3/2}}{3}-2x\right)\Bigg|_{4}^{9}.$$

   $$S=\left(\frac{2\cdot 9^{3/2}}{3}-2\cdot 9\right)-\left(\frac{2\cdot 4^{3/2}}{3}-2\cdot 4\right) =\left(\frac{2\cdot 27}{3}-18\right)-\left(\frac{2\cdot 8}{3}-8\right).$$

   $$S=18-18-\frac{16}{3}+8=\frac{8}{3}.$$

2. $$y=x^2+3,\quad y=x+5.$$

   Точки пересечения функций:

   $$x^2+3=x+5,$$

   $$x^2-x-2=0,$$

   $$D=1+8=9,$$

   $$x_1=\frac{1-3}{2}=-1,\quad x_2=\frac{1+3}{2}=2.$$

   На отрезке $$[-1;2]$$ сверху находится прямая $$y=x+5$$, снизу — парабола $$y=x^2+3$$. Тогда

   $$S=\int\limits_{-1}^{2}\bigl((x+5)-(x^2+3)\bigr)\,dx =\int\limits_{-1}^{2}(-x^2+x+2)\,dx.$$

   $$S=\left(-\frac{x^3}{3}+\frac{x^2}{2}+2x\right)\Bigg|_{-1}^{2}.$$

   $$S=\left(-\frac{8}{3}+2+4\right)-\left(\frac{1}{3}+\frac{1}{2}-2\right) =\frac{9}{2}.$$

Ответ

1) $$\frac{8}{3}$$; 2) $$\frac{9}{2}$$.