Упр.1097 ГДЗ Колягин Ткачёва 11 класс (Алгебра)

1. $$y=4x-x^2,\quad y=5,\quad x=0,\quad x=3$$
2. $$y=x^2-2x+8,\quad y=6,\quad x=-1,\quad x=3$$
3. $$y=\sin x,\quad y=0,\quad x=\frac{2\pi}{3},\quad x=\pi$$
4. $$y=\cos x,\quad y=0,\quad x=-\frac{\pi}{6},\quad x=\frac{\pi}{6}$$

1. $$S=\int_0^3(4x-x^2-5)\,dx$$

   $$S=\left(2x^2-\frac{x^3}{3}-5x\right)\Bigg|_0^3$$

   $$S=\left(2\cdot 3^2-\frac{3^3}{3}-5\cdot 3\right)-0=18-9-15=-6$$

   Площадь фигуры положительна, значит $$S=6$$.

2. $$S=\int_{-1}^3(x^2-2x+8-6)\,dx=\int_{-1}^3(x^2-2x+2)\,dx$$

   $$S=\left(\frac{x^3}{3}-x^2+2x\right)\Bigg|_{-1}^3$$

   $$S=\left(\frac{27}{3}-9+6\right)-\left(\frac{-1}{3}-1-2\right)=9-\left(-\frac{10}{3}\right)=\frac{37}{3}$$

   Но здесь нужно учитывать, что искомая площадь равна разности графиков $$y=6$$ и $$y=x^2-2x+8$$ на отрезке $$[-1;3]$$:

   $$S=\int_{-1}^3(6-(x^2-2x+8))\,dx=\int_{-1}^3(-x^2+2x-2)\,dx$$

   Берём модуль площади:

   $$S=\int_{-1}^3(x^2-2x+2)\,dx=\frac{28}{3}=9\frac{1}{3}$$

3. $$S=\int_{2\pi/3}^{\pi}\sin x\,dx$$

   $$S=\left(-\cos x\right)\Bigg|_{2\pi/3}^{\pi}=-\cos\pi+\cos\frac{2\pi}{3}$$

   $$S=1-\frac12=\frac12$$

4. $$S=\int_{-\pi/6}^{\pi/6}\cos x\,dx$$

   $$S=\left(\sin x\right)\Bigg|_{-\pi/6}^{\pi/6}=\sin\frac{\pi}{6}-\sin\left(-\frac{\pi}{6}\right)$$

   $$S=\frac12+\frac12=1$$

Ответ

1) $$6$$; 2) $$9\frac{1}{3}$$; 3) $$\frac12$$; 4) $$1$$.