Упр.1096 ГДЗ Колягин Ткачёва 11 класс (Алгебра)
- Найти площадь фигуры, ограниченной данными линиями:
1) $$y=\sqrt{x-1}$$, $$y=3-x$$, $$y=0$$;
2) $$y=-\frac{1}{x}$$, $$y=x^2$$, $$y=\frac{x^2}{8}$$.
1) $$y=\sqrt{x-1},\quad y=3-x,\quad y=0.$$
Найдём точки пересечения графиков:
$$\sqrt{x-1}=3-x.$$
Положим $$t=\sqrt{x-1}$$, тогда $$x=t^2+1$$ и
$$t=3-(t^2+1)=2-t^2,$$
$$t^2+t-2=0,$$
$$t=1 \quad (\text{так как } t\ge 0).$$
Значит, $$x=2,$$ $$y=1.$$
Также:
$$\sqrt{x-1}=0 \Rightarrow x=1,$$
$$3-x=0 \Rightarrow x=3.$$
Площадь фигуры:
$$S=\int_{1}^{2}\sqrt{x-1}\,dx+\int_{2}^{3}(3-x)\,dx.$$
Вычислим:
$$\int \sqrt{x-1}\,dx=\int (x-1)^{1/2}dx=\frac{2}{3}(x-1)^{3/2},$$
$$\int (3-x)\,dx=3x-\frac{x^2}{2}.$$
Тогда
$$S=\left.\frac{2}{3}(x-1)^{3/2}\right|_{1}^{2}+\left.\left(3x-\frac{x^2}{2}\right)\right|_{2}^{3} =\frac{2}{3}+\frac{1}{2}=\frac{7}{6}.$$
2) $$y=-\frac{1}{x},\quad y=x^2,\quad y=\frac{x^2}{8}.$$
Найдём точки пересечения:
$$-\frac{1}{x}=\frac{x^2}{8}\Rightarrow x^3=-8\Rightarrow x=-2,$$
$$-\frac{1}{x}=x^2\Rightarrow x^3=-1\Rightarrow x=-1.$$
На отрезке $$[-2,-1]$$ верхняя граница — $$y=-\frac{1}{x},$$ нижняя — $$y=\frac{x^2}{8}.$$
На отрезке $$[-1,0]$$ верхняя граница — $$y=x^2,$$ нижняя — $$y=\frac{x^2}{8}.$$
Тогда
$$S=\int_{-2}^{-1}\left(-\frac{1}{x}-\frac{x^2}{8}\right)dx+\int_{-1}^{0}\left(x^2-\frac{x^2}{8}\right)dx.$$
$$S=\int_{-2}^{-1}\left(-\frac{1}{x}-\frac{x^2}{8}\right)dx+\int_{-1}^{0}\frac{7x^2}{8}\,dx.$$
Вычислим:
$$\int\left(-\frac{1}{x}-\frac{x^2}{8}\right)dx=-\ln|x|-\frac{x^3}{24},$$
$$\int \frac{7x^2}{8}\,dx=\frac{7x^3}{24}.$$
Тогда
$$S=\left(-\ln|x|-\frac{x^3}{24}\right)\Bigg|_{-2}^{-1}+\left(\frac{7x^3}{24}\right)\Bigg|_{-1}^{0} =\ln 2.$$
Ответ
1) $$\frac{7}{6}$$; 2) $$\ln 2$$.
