Упр.1095 ГДЗ Колягин Ткачёва 11 класс (Алгебра)

1. Из всех цилиндров, вписанных в конус с радиусом основания $$R$$ и высотой $$H$$, найти цилиндр наибольшего объёма.

Пусть $$r$$ и $$h$$ — радиус основания и высота цилиндра.

Из подобия треугольников получаем:

$$\frac{h}{H}=\frac{R-r}{R},$$

откуда

$$h=\frac{H(R-r)}{R}.$$

Объём цилиндра:

$$V(r)=\pi r^2h=\pi r^2\cdot \frac{H(R-r)}{R}=\frac{\pi H}{R}(Rr^2-r^3).$$

Найдём производную:

$$V'(r)=\frac{\pi H}{R}(2Rr-3r^2)=\frac{\pi H}{R}\,r(2R-3r).$$

Критические точки:

$$r=0 \quad \text{или} \quad r=\frac{2R}{3}.$$

На отрезке $$0\le r\le R$$ максимум достигается при

$$r=\frac{2R}{3}.$$

Тогда

$$h=\frac{H\left(R-\frac{2R}{3}\right)}{R}=\frac{H}{3}.$$

Следовательно, наибольший объём имеет цилиндр с радиусом основания $$\frac{2R}{3}$$ и высотой $$\frac{H}{3}$$.

Ответ

$$r=\frac{2R}{3},\quad h=\frac{H}{3}.$$