Упр.1094 ГДЗ Колягин Ткачёва 11 класс (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Колягин, Ткачёва, Фёдорова 11 класс, Просвещение: 1094. Из всех правильных треугольных призм, которые вписаны в сферу радиуса R, выбрана призма наибольшего объёма. Найти высоту этой призмы. *Цитирирование задания со ссылкой на учебник производится исключительно в учебных целях для лучшего понимания разбора решения задания. 11 kolyagin11 1094 118

Пусть $$a$$ — сторона основания, $$h$$ — высота призмы.

Так как призма правильная и вписана в сферу радиуса $$R$$, то расстояние от центра сферы до вершины призмы равно $$R$$. Тогда

$$ \left(\frac{a}{\sqrt{3}}\right)^2+\left(\frac{h}{2}\right)^2=R^2. $$

Отсюда

$$ \frac{a^2}{3}+\frac{h^2}{4}=R^2, $$

$$ 4a^2+3h^2=12R^2, $$

$$ a^2=3R^2-\frac{3h^2}{4}=\frac{3}{4}(4R^2-h^2). $$

Объём призмы:

$$ V(h)=S_{\text{осн}}\cdot h=\frac{a^2\sqrt{3}}{4}\cdot h. $$

Подставим найденное выражение для $$a^2$$:

$$ V(h)=\frac{\sqrt{3}}{4}\cdot \frac{3}{4}(4R^2-h^2)\cdot h =\frac{3\sqrt{3}}{16}(4R^2h-h^3). $$

Найдём производную:

$$ V'(h)=\frac{3\sqrt{3}}{16}(4R^2-3h^2). $$

Для максимума объёма приравняем производную к нулю:

$$ 4R^2-3h^2=0, $$

$$ h^2=\frac{4R^2}{3}, $$

$$ h=\frac{2R}{\sqrt{3}}. $$

Это и есть высота призмы наибольшего объёма.

Ответ

$$\frac{2R}{\sqrt{3}}$$