Упр.1094 ГДЗ Колягин Ткачёва 11 класс (Алгебра)

1. Из всех правильных треугольных призм, которые вписаны в сферу радиуса $$R$$, выбрана призма наибольшего объёма. Найти высоту этой призмы.

Пусть $$a$$ — сторона основания, $$h$$ — высота призмы.

Так как призма правильная и вписана в сферу радиуса $$R$$, то расстояние от центра сферы до вершины призмы равно $$R$$. Тогда

$$\left(\frac{a}{\sqrt{3}}\right)^2+\left(\frac{h}{2}\right)^2=R^2.$$

Отсюда

$$\frac{a^2}{3}+\frac{h^2}{4}=R^2,$$

$$4a^2+3h^2=12R^2,$$

$$a^2=3R^2-\frac{3h^2}{4}=\frac{3}{4}(4R^2-h^2).$$

Объём призмы:

$$V(h)=S_{\text{осн}}\cdot h=\frac{a^2\sqrt{3}}{4}\cdot h.$$

Подставим найденное выражение для $$a^2$$:

$$V(h)=\frac{\sqrt{3}}{4}\cdot \frac{3}{4}(4R^2-h^2)\cdot h =\frac{3\sqrt{3}}{16}(4R^2h-h^3).$$

Найдём производную:

$$V'(h)=\frac{3\sqrt{3}}{16}(4R^2-3h^2).$$

Для максимума объёма приравняем производную к нулю:

$$4R^2-3h^2=0,$$

$$h^2=\frac{4R^2}{3},$$

$$h=\frac{2R}{\sqrt{3}}.$$

Это и есть высота призмы наибольшего объёма.

Ответ

$$\frac{2R}{\sqrt{3}}$$