Упр.1093 ГДЗ Колягин Ткачёва 11 класс (Алгебра)

Консервная жестяная банка заданного объёма должна иметь форму цилиндра. При каком соотношении между диаметром основания $$D$$ и высотой $$H$$ цилиндра расход жести будет наименьшим?

Пусть $$r$$ — радиус основания, $$h$$ — высота цилиндра. Тогда объём банки

$$\pi r^2h=V,$$

откуда

$$h=\frac{V}{\pi r^2}.$$

Площадь полной поверхности цилиндра равна

$$S=2\pi r^2+2\pi rh.$$

Подставим выражение для $$h$$:

$$S(r)=2\pi r^2+2\pi r\cdot \frac{V}{\pi r^2}=2\pi r^2+\frac{2V}{r}.$$

Найдём минимум функции $$S(r)$$ при $$r>0$$:

$$S'(r)=4\pi r-\frac{2V}{r^2}=\frac{4\pi r^3-2V}{r^2}.$$

При минимуме $$S'(r)=0$$, значит

$$4\pi r^3-2V=0,$$

$$r^3=\frac{V}{2\pi}.$$

Теперь найдём отношение диаметра к высоте:

$$\frac{D}{H}=\frac{2r}{h}=\frac{2r}{V/(\pi r^2)}=\frac{2\pi r^3}{V}.$$

Подставим найденное значение $$r^3$$:

$$\frac{D}{H}=\frac{2\pi}{V}\cdot \frac{V}{2\pi}=1.$$

Следовательно, $$D=H$$.

Ответ

$$D=H$$