Упр.1093 ГДЗ Колягин Ткачёва 11 класс (Алгебра)
Рассмотрим вариант решения задания из учебника Колягин, Ткачёва, Фёдорова 11 класс, Просвещение: 1093. Консервная жестяная банка заданного объёма должна иметь форму цилиндра. При каком соотношении между диаметром основания D и высотой Н цилиндра расход жести будет наименьшим? *Цитирирование задания со ссылкой на учебник производится исключительно в учебных целях для лучшего понимания разбора решения задания. 11 kolyagin11 1093 118
Пусть $$r$$ — радиус основания, $$h$$ — высота цилиндра. Тогда объём банки
$$\pi r^2h=V,$$
откуда
$$h=\frac{V}{\pi r^2}.$$
Площадь полной поверхности цилиндра равна
$$S=2\pi r^2+2\pi rh.$$
Подставим выражение для $$h$$:
$$S(r)=2\pi r^2+2\pi r\cdot \frac{V}{\pi r^2}=2\pi r^2+\frac{2V}{r}.$$
Найдём минимум функции $$S(r)$$ при $$r>0$$:
$$S'(r)=4\pi r-\frac{2V}{r^2}=\frac{4\pi r^3-2V}{r^2}.$$
При минимуме $$S'(r)=0$$, значит
$$4\pi r^3-2V=0,$$
$$r^3=\frac{V}{2\pi}.$$
Теперь найдём отношение диаметра к высоте:
$$\frac{D}{H}=\frac{2r}{h}=\frac{2r}{V/(\pi r^2)}=\frac{2\pi r^3}{V}.$$
Подставим найденное значение $$r^3$$:
$$\frac{D}{H}=\frac{2\pi}{V}\cdot \frac{V}{2\pi}=1.$$
Следовательно, $$D=H$$.
Ответ
$$D=H$$
