Упр.1092 ГДЗ Колягин Ткачёва 11 класс (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Колягин, Ткачёва, Фёдорова 11 класс, Просвещение: 1092. Из всех цилиндров, которые можно поместить внутри сферы радиуса R, найти цилиндр наибольшего объёма. *Цитирирование задания со ссылкой на учебник производится исключительно в учебных целях для лучшего понимания разбора решения задания. 11 kolyagin11 1092 118

Пусть $$r$$ — радиус основания цилиндра, $$h$$ — его высота. Тогда диагональ осевого сечения цилиндра равна диаметру сферы:

$$ (2r)^2+h^2=(2R)^2. $$

Отсюда

$$ 4r^2+h^2=4R^2,\qquad r^2=R^2-\frac{h^2}{4}. $$

Объём цилиндра:

$$ V=\pi r^2h=\pi h\left(R^2-\frac{h^2}{4}\right)=\pi R^2h-\frac{\pi}{4}h^3. $$

Найдём производную:

$$ V'(h)=\pi R^2-\frac{3\pi}{4}h^2. $$

При максимуме объёма $$V'(h)=0$$:

$$ \pi R^2-\frac{3\pi}{4}h^2=0, $$

$$ h^2=\frac{4R^2}{3},\qquad h=\frac{2R}{\sqrt{3}}. $$

Тогда

$$ r^2=R^2-\frac{1}{4}\cdot \frac{4R^2}{3}=\frac{2R^2}{3}, $$

$$ r=R\sqrt{\frac{2}{3}}. $$

Следовательно, наибольший объём имеет цилиндр с высотой $$\frac{2R}{\sqrt{3}}$$ и радиусом основания $$R\sqrt{\frac{2}{3}}$$.

Ответ

$$ h=\frac{2R}{\sqrt{3}},\qquad r=R\sqrt{\frac{2}{3}}. $$