Упр.1092 ГДЗ Колягин Ткачёва 11 класс (Алгебра)

Из всех цилиндров, которые можно поместить внутри сферы радиуса $$R$$, найти цилиндр наибольшего объёма.

Пусть $$r$$ — радиус основания цилиндра, $$h$$ — его высота. Тогда диагональ осевого сечения цилиндра равна диаметру сферы:

$$(2r)^2+h^2=(2R)^2.$$

Отсюда

$$4r^2+h^2=4R^2,\qquad r^2=R^2-\frac{h^2}{4}.$$

Объём цилиндра:

$$V=\pi r^2h=\pi h\left(R^2-\frac{h^2}{4}\right)=\pi R^2h-\frac{\pi}{4}h^3.$$

Найдём производную:

$$V'(h)=\pi R^2-\frac{3\pi}{4}h^2.$$

При максимуме объёма $$V'(h)=0$$:

$$\pi R^2-\frac{3\pi}{4}h^2=0,$$

$$h^2=\frac{4R^2}{3},\qquad h=\frac{2R}{\sqrt{3}}.$$

Тогда

$$r^2=R^2-\frac{1}{4}\cdot \frac{4R^2}{3}=\frac{2R^2}{3},$$

$$r=R\sqrt{\frac{2}{3}}.$$

Следовательно, наибольший объём имеет цилиндр с высотой $$\frac{2R}{\sqrt{3}}$$ и радиусом основания $$R\sqrt{\frac{2}{3}}$$.

Ответ

$$h=\frac{2R}{\sqrt{3}},\qquad r=R\sqrt{\frac{2}{3}}.$$