Упр.1091 ГДЗ Колягин Ткачёва 11 класс (Алгебра)

Из всех цилиндров, у которых периметр осевого сечения равен $$p$$, выбран цилиндр наибольшего объёма. Найдите этот объём.

Пусть $$r$$ — радиус основания цилиндра, $$h$$ — его высота. Осевое сечение цилиндра — прямоугольник со сторонами $$2r$$ и $$h$$, поэтому его периметр равен

$$2(2r+h)=p.$$

Отсюда

$$h=\frac{p}{2}-2r.$$

Объём цилиндра:

$$V(r)=\pi r^2h=\pi r^2\left(\frac{p}{2}-2r\right)=\frac{1}{2}\pi pr^2-2\pi r^3.$$

Найдём производную:

$$V'(r)=\pi pr-6\pi r^2=\pi r(p-6r).$$

Критические точки: $$r=0$$ и $$r=\frac{p}{6}$$. На допустимом промежутке $$0<r<\frac{p}{4}$$ максимум достигается при

$$r=\frac{p}{6}.$$

Тогда

$$h=\frac{p}{2}-2\cdot\frac{p}{6}=\frac{p}{6}.$$

Следовательно, наибольший объём равен

$$V_{\max}=\pi\left(\frac{p}{6}\right)^2\cdot\frac{p}{6}=\frac{\pi p^3}{216}.$$

Ответ

$$\frac{\pi p^3}{216}$$