Упр.1090 ГДЗ Колягин Ткачёва 11 класс (Алгебра)

1. В конус с заданным объёмом $$V$$ вписана пирамида, в основании которой лежит равнобедренный треугольник с углом при вершине, равным $$a$$. При каком значении $$a$$ объём пирамиды будет наибольшим?

Пусть $$b$$ — боковая сторона равнобедренного треугольника в основании пирамиды, $$c$$ — его основание, $$R$$ — радиус основания конуса.

Так как треугольник вписан в окружность основания конуса, то

$$c=2R\sin a.$$

В равнобедренном треугольнике углы при основании равны:

$$\frac{\pi-a}{2}=\frac{\pi}{2}-\frac{a}{2}.$$

По теореме синусов:

$$\frac{c}{\sin a}=\frac{b}{\sin\left(\frac{\pi}{2}-\frac{a}{2}\right)}=\frac{b}{\cos\frac{a}{2}}.$$

Отсюда

$$b=\frac{c\cos\frac{a}{2}}{\sin a}=2R\cos\frac{a}{2}.$$

Площадь основания пирамиды:

$$S(a)=\frac12 b^2\sin a=\frac12\cdot \left(2R\cos\frac{a}{2}\right)^2\sin a=2R^2\cos^2\frac{a}{2}\sin a.$$

Используем формулу $$\cos^2\frac{a}{2}=\frac{1+\cos a}{2}$$:

$$S(a)=R^2(1+\cos a)\sin a.$$

Так как объём пирамиды при фиксированной высоте пропорционален площади основания, достаточно найти максимум функции $$S(a)$$.

Найдём производную:

$$S'(a)=R^2\bigl((1+\cos a)\cos a-\sin^2 a\bigr).$$

Преобразуем:

$$S'(a)=R^2\bigl(\cos a+\cos^2 a-\sin^2 a\bigr)=R^2\bigl(2\cos^2 a+\cos a-1\bigr).$$

Решим уравнение $$S'(a)=0$$:

$$2\cos^2 a+\cos a-1=0,$$
$$\left(2\cos a-1\right)\left(\cos a+1\right)=0.$$

Отсюда

$$\cos a=\frac12 \quad \text{или} \quad \cos a=-1.$$

Значение $$\cos a=-1$$ соответствует вырожденному случаю, поэтому максимум достигается при

$$\cos a=\frac12,$$
$$a=\frac{\pi}{3}.$$

Ответ

$$\frac{\pi}{3}$$