Упр.109 ГДЗ Колягин Ткачёва 11 класс (Алгебра)

Найти множество значений функции:

1. 1) $$y=1-2\sin 2x$$;
   2) $$y=2\cos 2x-1$$;
   3) $$y=3-2\sin 2x$$;
   4) $$y=2\cos 2x+5$$;
   5) $$y=\cos 3x\sin x-\sin 3x\cos x+4$$;
   6) $$y=\cos 2x\cos x+\sin 2x\sin x-3$$.

1. $$y=1-2\sin^2 x$$

   Используем формулу $$\cos 2x=1-2\sin^2 x$$. Тогда

   $$y=\cos 2x.$$

   Так как $$-1\le \cos 2x\le 1,$$ то

   $$E(y)=[-1;1].$$

2. $$y=2\cos^2 x-1$$

   По формуле $$\cos 2x=2\cos^2 x-1$$ получаем

   $$y=\cos 2x.$$

   Следовательно,

   $$E(y)=[-1;1].$$

3. $$y=3-2\sin^2 x$$

   Так как $$1-2\sin^2 x=\cos 2x,$$ то

   $$y=2+\cos 2x.$$

   Поскольку $$-1\le \cos 2x\le 1,$$ имеем

   $$1\le 2+\cos 2x\le 3.$$

   Значит,

   $$E(y)=[1;3].$$

4. $$y=2\cos^2 x+5$$

   Преобразуем:

   $$y=(2\cos^2 x-1)+6=\cos 2x+6.$$

   Так как $$-1\le \cos 2x\le 1,$$ то

   $$5\le \cos 2x+6\le 7.$$

   Следовательно,

   $$E(y)=[5;7].$$

5. $$y=\cos 3x\sin x-\sin 3x\cos x+4$$

   Используем формулу $$\sin(\alpha-\beta)=\sin\alpha\cos\beta-\cos\alpha\sin\beta$$:

   $$\cos 3x\sin x-\sin 3x\cos x=-\bigl(\sin 3x\cos x-\cos 3x\sin x\bigr)=-\sin(3x-x)=-\sin 2x.$$

   Тогда

   $$y=4-\sin 2x.$$

   Поскольку $$-1\le \sin 2x\le 1,$$ получаем

   $$3\le 4-\sin 2x\le 5.$$

   Значит,

   $$E(y)=[3;5].$$

6. $$y=\cos 2x\cos x+\sin 2x\sin x-3$$

   По формуле $$\cos(\alpha-\beta)=\cos\alpha\cos\beta+\sin\alpha\sin\beta$$:

   $$\cos 2x\cos x+\sin 2x\sin x=\cos(2x-x)=\cos x.$$

   Тогда

   $$y=\cos x-3.$$

   Так как $$-1\le \cos x\le 1,$$ то

   $$-4\le \cos x-3\le -2.$$

   Следовательно,

   $$E(y)=[-4;-2].$$

Ответ

1) $$[-1;1]$$; 2) $$[-1;1]$$; 3) $$[1;3]$$; 4) $$[5;7]$$; 5) $$[3;5]$$; 6) $$[-4;-2]$$.