Упр.109 ГДЗ Колягин Ткачёва 11 класс (Алгебра)

Задача

1) у = 1 — 2sin2x;
2) у = 2cos2x — 1;
3) у = 3 — 2sin2x;
4) y = 2cos2x + 5;
5) у = cos 3x sinx — sin3xcosx + 4;
6) у = cos2xcosx + sin2xsinx — 3.

Подробный ответ

$$y=1-2\sin^2 x$$
Используем формулу $$\cos 2x=1-2\sin^2 x$$. Тогда
$$y=\cos 2x.$$
Так как $$-1\le \cos 2x\le 1,$$ то
$$E(y)=[-1;1].$$
$$y=2\cos^2 x-1$$
По формуле $$\cos 2x=2\cos^2 x-1$$ получаем
$$y=\cos 2x.$$
Следовательно,
$$E(y)=[-1;1].$$
$$y=3-2\sin^2 x$$
Так как $$1-2\sin^2 x=\cos 2x,$$ то
$$y=2+\cos 2x.$$
Поскольку $$-1\le \cos 2x\le 1,$$ имеем
$$1\le 2+\cos 2x\le 3.$$
Значит,
$$E(y)=[1;3].$$
$$y=2\cos^2 x+5$$
Преобразуем:
$$y=(2\cos^2 x-1)+6=\cos 2x+6.$$
Так как $$-1\le \cos 2x\le 1,$$ то
$$5\le \cos 2x+6\le 7.$$
Следовательно,
$$E(y)=[5;7].$$
$$y=\cos 3x\sin x-\sin 3x\cos x+4$$
Используем формулу $$\sin(\alpha-\beta)=\sin\alpha\cos\beta-\cos\alpha\sin\beta$$:
$$\cos 3x\sin x-\sin 3x\cos x=-\bigl(\sin 3x\cos x-\cos 3x\sin x\bigr)=-\sin(3x-x)=-\sin 2x.$$
Тогда
$$y=4-\sin 2x.$$
Поскольку $$-1\le \sin 2x\le 1,$$ получаем
$$3\le 4-\sin 2x\le 5.$$
Значит,
$$E(y)=[3;5].$$
$$y=\cos 2x\cos x+\sin 2x\sin x-3$$
По формуле $$\cos(\alpha-\beta)=\cos\alpha\cos\beta+\sin\alpha\sin\beta$$:
$$\cos 2x\cos x+\sin 2x\sin x=\cos(2x-x)=\cos x.$$
Тогда
$$y=\cos x-3.$$
Так как $$-1\le \cos x\le 1,$$ то
$$-4\le \cos x-3\le -2.$$
Следовательно,
$$E(y)=[-4;-2].$$