Упр.1089 ГДЗ Колягин Ткачёва 11 класс (Алгебра)

Найти высоту конуса наибольшего объёма, вписанного в шар радиуса $$R$$.

Пусть $$r$$ — радиус основания, $$h$$ — высота конуса. Тогда в осевом сечении получаем прямоугольный треугольник, где гипотенуза равна радиусу шара $$R$$, а катеты — $$r$$ и $$R-h$$. Поэтому

$$r^2=R^2-(R-h)^2=2Rh-h^2.$$

Объём конуса:

$$V(h)=\frac13\pi r^2h=\frac13\pi h(2Rh-h^2)=\frac23\pi Rh^2-\frac13\pi h^3.$$

Найдём производную:

$$V'(h)=\frac43\pi Rh-\pi h^2=\pi h\left(\frac43R-h\right).$$

Критические точки: $$h=0$$ и $$h=\frac{4R}{3}$$. На промежутке $$0<h<\frac{4R}{3}$$ производная положительна, а при $$h>\frac{4R}{3}$$ — отрицательна, значит, объём достигает максимума при

$$h=\frac{4R}{3}.$$

Ответ

$$\frac{4R}{3}$$