Упр.1088 ГДЗ Колягин Ткачёва 11 класс (Алгебра)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Колягин, Ткачёва, Фёдорова 11 класс, Просвещение: 1088. Найти высоту цилиндра наибольшего объёма, вписанного в шар радиуса R. *Цитирирование задания со ссылкой на учебник производится исключительно в учебных целях для лучшего понимания разбора решения задания. 11 kolyagin11 1088 118

Подробный ответ

Пусть $$r$$ — радиус основания цилиндра, $$h$$ — его высота. Тогда диагональ осевого сечения цилиндра равна диаметру шара:

$$ (2r)^2+h^2=(2R)^2. $$

Отсюда

$$ 4r^2+h^2=4R^2,\qquad r^2=R^2-\frac{h^2}{4}. $$

Объём цилиндра:

$$ V(h)=\pi r^2h=\pi h\left(R^2-\frac{h^2}{4}\right)=\pi R^2h-\frac{\pi}{4}h^3. $$

Найдём производную:

$$ V'(h)=\pi R^2-\frac{3\pi}{4}h^2. $$

При максимуме объёма $$V'(h)=0$$:

$$ \pi R^2-\frac{3\pi}{4}h^2=0, $$

$$ h^2=\frac{4R^2}{3}, \qquad h=\frac{2R}{\sqrt{3}}. $$