Упр.1088 ГДЗ Колягин Ткачёва 11 класс (Алгебра)

Найти высоту цилиндра наибольшего объёма, вписанного в шар радиуса $$R$$.

Пусть $$r$$ — радиус основания цилиндра, $$h$$ — его высота. Тогда диагональ осевого сечения цилиндра равна диаметру шара:

$$(2r)^2+h^2=(2R)^2.$$

Отсюда

$$4r^2+h^2=4R^2,\qquad r^2=R^2-\frac{h^2}{4}.$$

Объём цилиндра:

$$V(h)=\pi r^2h=\pi h\left(R^2-\frac{h^2}{4}\right)=\pi R^2h-\frac{\pi}{4}h^3.$$

Найдём производную:

$$V'(h)=\pi R^2-\frac{3\pi}{4}h^2.$$

При максимуме объёма $$V'(h)=0$$:

$$\pi R^2-\frac{3\pi}{4}h^2=0,$$

$$h^2=\frac{4R^2}{3}, \qquad h=\frac{2R}{\sqrt{3}}.$$

Так как $$h>0$$, получаем искомую высоту цилиндра.

Ответ

$$\frac{2R}{\sqrt{3}}$$