Упр.1087 ГДЗ Колягин Ткачёва 11 класс (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Колягин, Ткачёва, Фёдорова 11 класс, Просвещение: 1087. Найти радиус основания цилиндра, вписанного в шар радиуса R и имеющего наибольшую площадь боковой поверхности.

Пусть $$r$$ — радиус основания цилиндра, $$h$$ — его высота. Тогда диагональ осевого сечения цилиндра равна диаметру шара:

$$ (2r)^2+h^2=(2R)^2. $$

Отсюда

$$ 4r^2+h^2=4R^2, $$

$$ h=2\sqrt{R^2-r^2}. $$

Площадь боковой поверхности цилиндра:

$$ S(r)=2\pi r h=2\pi r\cdot 2\sqrt{R^2-r^2}=4\pi r\sqrt{R^2-r^2}. $$

Найдём максимум функции $$S(r)$$. Достаточно максимизировать выражение

$$ S^2(r)=16\pi^2 r^2(R^2-r^2). $$

Рассмотрим функцию

$$ f(r)=r^2(R^2-r^2)=R^2r^2-r^4. $$

Тогда

$$ f'(r)=2R^2r-4r^3=2r(R^2-2r^2). $$

Критические точки:

$$ 2r(R^2-2r^2)=0 \quad \Rightarrow \quad r=0 \text{ или } r^2=\frac{R^2}{2}. $$

Так как $$r>0$$, получаем

$$ r=\frac{R}{\sqrt2}. $$

Именно при этом значении радиуса площадь боковой поверхности максимальна.

Ответ

$$\frac{R}{\sqrt2}$$