Упр.1087 ГДЗ Колягин Ткачёва 11 класс (Алгебра)

Найти радиус основания цилиндра, вписанного в шар радиуса $$R$$ и имеющего наибольшую площадь боковой поверхности.

Пусть $$r$$ — радиус основания цилиндра, $$h$$ — его высота. Тогда диагональ осевого сечения цилиндра равна диаметру шара:

$$(2r)^2+h^2=(2R)^2.$$

Отсюда

$$4r^2+h^2=4R^2,$$

$$h=2\sqrt{R^2-r^2}.$$

Площадь боковой поверхности цилиндра:

$$S(r)=2\pi r h=2\pi r\cdot 2\sqrt{R^2-r^2}=4\pi r\sqrt{R^2-r^2}.$$

Найдём максимум функции $$S(r)$$. Достаточно максимизировать выражение

$$S^2(r)=16\pi^2 r^2(R^2-r^2).$$

Рассмотрим функцию

$$f(r)=r^2(R^2-r^2)=R^2r^2-r^4.$$

Тогда

$$f'(r)=2R^2r-4r^3=2r(R^2-2r^2).$$

Критические точки:

$$2r(R^2-2r^2)=0 \quad \Rightarrow \quad r=0 \text{ или } r^2=\frac{R^2}{2}.$$

Так как $$r>0$$, получаем

$$r=\frac{R}{\sqrt2}.$$

Именно при этом значении радиуса площадь боковой поверхности максимальна.

Ответ

$$\frac{R}{\sqrt2}$$