Упр.1085 ГДЗ Колягин Ткачёва 11 класс (Алгебра)

Какой должна быть высота конуса с образующей 20 дм, чтобы его объём был наибольшим?

Пусть $$r$$ — радиус основания конуса, $$h$$ — его высота. Тогда по условию образующая равна $$20$$ дм, значит

$$r^2+h^2=20^2=400,$$

откуда

$$r^2=400-h^2.$$

Объём конуса выражается формулой

$$V=\frac13\pi r^2h.$$

Подставим $$r^2=400-h^2$$:

$$V(h)=\frac13\pi h(400-h^2)=\frac{400\pi h-\pi h^3}{3}.$$

Найдём производную:

$$V'(h)=\frac{400\pi-3\pi h^2}{3}.$$

Для максимума объёма приравняем производную к нулю:

$$400\pi-3\pi h^2=0,$$

$$3h^2=400,$$

$$h^2=\frac{400}{3},$$

$$h=\frac{20}{\sqrt3}=\frac{20\sqrt3}{3}.$$

Это и есть высота, при которой объём конуса наибольший.

Ответ

$$\frac{20\sqrt3}{3}\text{ дм}$$