Упр.1083 ГДЗ Колягин Ткачёва 11 класс (Алгебра)

1. На координатной плоскости дана точка $$K(3; 6)$$. Рассматриваются треугольники, у которых две вершины симметричны относительно оси $$Oy$$ и лежат на параболе $$y=4x^2$$, заданной на отрезке $$[-1; 1]$$, а точка $$K$$ — середина одной из сторон. Из этих треугольников выбран тот, который имеет наибольшую площадь. Найти эту площадь.

Пусть абсцисса одной из симметричных вершин равна $$x$$, тогда абсцисса второй вершины равна $$-x$$, а их ординаты равны $$4x^2$$. Основание треугольника:

$$AB=x-(-x)=2x.$$

Пусть третья вершина имеет координаты $$C(x_c;y_c)$$, а точка $$K(3;6)$$ — середина одной из сторон, содержащей вершину с ординатой $$4x^2$$. Тогда

$$6=\frac{4x^2+y_c}{2},$$

откуда

$$y_c=12-4x^2.$$

Высота треугольника равна

$$h=(12-4x^2)-4x^2=12-8x^2.$$

Тогда площадь треугольника

$$S(x)=\frac12\cdot AB\cdot h=\frac12\cdot 2x\cdot(12-8x^2)=12x-8x^3.$$

Найдём максимум функции на отрезке $$[0;1]$$:

$$S'(x)=12-24x^2.$$

$$12-24x^2=0 \;\Rightarrow\; x^2=\frac12 \;\Rightarrow\; x=\frac1{\sqrt2}.$$

В этой точке площадь максимальна:

$$S_{\max}=S\!\left(\frac1{\sqrt2}\right)=12\cdot\frac1{\sqrt2}-8\cdot\left(\frac1{\sqrt2}\right)^3=4\sqrt2.$$

Ответ

$$4\sqrt2$$