Упр.1082 ГДЗ Колягин Ткачёва 11 класс (Алгебра)

На координатной плоскости даны точки $$A(3; -1)$$ и $$D(4; -1)$$. Рассматриваются трапеции, у которых отрезок $$AD$$ является одним из оснований, а вершины другого основания лежат на параболе $$y=1-x^2$$, заданной на отрезке $$[-1; 1]$$. Среди этих трапеций выбрана та, которая имеет наибольшую площадь. Найти эту площадь.

Пусть вершины второго основания трапеции имеют абсциссы $$x$$ и $$-x$$, тогда они лежат на параболе $$y=1-x^2$$, а длина второго основания равна

$$BC=x-(-x)=2x.$$

Высота трапеции равна расстоянию от точки на параболе до прямой $$y=-1$$:

$$h=(1-x^2)-(-1)=2-x^2.$$

Длина основания $$AD$$:

$$AD=4-3=1.$$

Тогда площадь трапеции

$$S(x)=\frac12(AD+BC)\cdot h=\frac12(1+2x)(2-x^2).$$

Раскроем скобки:

$$S(x)=\frac12(2+4x-x^2-2x^3).$$

Найдём производную:

$$S'(x)=\frac12(4-2x-6x^2)=2-x-3x^2.$$

Приравняем к нулю:

$$2-x-3x^2=0,$$

$$3x^2+x-2=0,$$

$$D=1+24=25,$$

$$x_1=\frac{-1-5}{6}=-1,\qquad x_2=\frac{-1+5}{6}=\frac23.$$

На отрезке $$[-1;1]$$ функция возрастает до точки $$x=\frac23$$, значит максимум площади достигается при $$x=\frac23$$.

Вычислим максимальную площадь:

$$S\left(\frac23\right)=\frac12\left(1+\frac43\right)\left(2-\frac49\right)=\frac12\cdot\frac73\cdot\frac{14}{9}=\frac{49}{27}.$$

Ответ

$$\frac{49}{27}$$