Упр.1081 ГДЗ Колягин Ткачёва 11 класс (Алгебра)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Колягин, Ткачёва, Фёдорова 11 класс, Просвещение: 1081. На параболе у = х2 найти точку, расстояние от которой до точки А(2;1/2) является наименьшим.

Подробный ответ

Пусть искомая точка параболы имеет координаты $$B(x; x^2).$$ Тогда расстояние от неё до точки $$A\left(2;\frac12\right)$$ равно

$$ AB=\sqrt{(x-2)^2+\left(x^2-\frac12\right)^2}. $$

Чтобы найти наименьшее расстояние, достаточно минимизировать квадрат расстояния:

$$ AB^2=(x-2)^2+\left(x^2-\frac12\right)^2. $$

Раскроем скобки:

$$ AB^2=x^2-4x+4+x^4-x^2+\frac14=x^4-4x+\frac{17}{4}. $$

Обозначим

$$ f(x)=x^4-4x+\frac{17}{4}. $$

Найдём производную:

$$ f'(x)=4x^3-4=4(x^3-1)=4(x-1)(x^2+x+1). $$

Так как $$x^2+x+1>0$$ при всех $$x,$$ то знак производной определяется множителем $$x-1.$$ Следовательно, функция убывает при $$x<1$$ и возрастает при $$x>1,$$ значит, минимум достигается при

$$ x=1. $$

Тогда

$$ y=x^2=1. $$

Искомая точка:

$$ B(1;1). $$