Упр.1080 ГДЗ Колягин Ткачёва 11 класс (Алгебра)

1. Найти наибольшее и наименьшее значения функции $$f(x)=2\ln^3 x-9\ln^2 x+12\ln x$$ на отрезке $$e^{\frac{3}{4}}\leq x\leq e^3$$.

Найдём производную функции:

$$f(x)=2\ln^3 x-9\ln^2 x+12\ln x$$

$$f'(x)=2\cdot 3\ln^2 x\cdot \frac1x-9\cdot 2\ln x\cdot \frac1x+12\cdot \frac1x$$

$$f'(x)=\frac{6}{x}\left(\ln^2 x-3\ln x+2\right)$$

Стационарные точки найдём из уравнения:

$$\ln^2 x-3\ln x+2=0$$

Положим $$t=\ln x$$. Тогда

$$t^2-3t+2=0$$

$$\left(t-1\right)\left(t-2\right)=0$$

Отсюда

$$t=1 \quad \text{или} \quad t=2$$

то есть

$$x=e \quad \text{или} \quad x=e^2$$

Обе точки принадлежат отрезку $$\left[e^{3/4};\,e^3\right]$$. Проверим значения функции в концах отрезка и в стационарных точках:

$$f\left(e^{3/4}\right)=2\left(\frac34\right)^3-9\left(\frac34\right)^2+12\cdot \frac34$$

$$f\left(e^{3/4}\right)=\frac{54-324+576}{64}=\frac{306}{64}=\frac{153}{32}$$

$$f(e)=2\cdot 1^3-9\cdot 1^2+12\cdot 1=5$$

$$f\left(e^2\right)=2\cdot 2^3-9\cdot 2^2+12\cdot 2=4$$

$$f\left(e^3\right)=2\cdot 3^3-9\cdot 3^2+12\cdot 3=9$$

Сравниваем полученные значения:

$$\frac{153}{32},\ 5,\ 4,\ 9$$

Наименьшее значение равно $$4$$, наибольшее — $$9$$.

Ответ

$$4;\ 9$$