Упр.108 ГДЗ Колягин Ткачёва 11 класс (Алгебра)

Найти область определения функции:

1. $$y=\sin x+\cos x$$;
2. $$y=\sin x+\tg x$$;
3. $$y=\sqrt{\sin x}$$;
4. $$y=\sqrt{\cos x}$$;
5. $$y=2x/2\sin x-1$$;
6. $$y=\cos/2x2x-\sin x$$.

1. $$y=\sin x+\cos x$$

   Обе тригонометрические функции определены при всех $$x\in \mathbb{R}$$, значит

   $$D(y)=\mathbb{R}.$$

2. $$y=\sin x+\tg x$$

   Функция $$\tg x$$ не определена при

   $$x=\frac{\pi}{2}+\pi n,\quad n\in \mathbb{Z}.$$

   Следовательно,

   $$D(y)=\mathbb{R}\setminus \left\{\frac{\pi}{2}+\pi n,\ n\in \mathbb{Z}\right\}.$$

3. $$y=\sqrt{\sin x}$$

   Подкоренное выражение должно быть неотрицательным:

   $$\sin x\ge 0.$$

   Это выполняется при

   $$x\in [2\pi n,\ \pi+2\pi n],\quad n\in \mathbb{Z}.$$

   Значит,

   $$D(y)=\bigcup_{n\in \mathbb{Z}}[2\pi n,\ \pi+2\pi n].$$

4. $$y=\sqrt{\cos x}$$

   Требуется

   $$\cos x\ge 0.$$

   Отсюда

   $$x\in \left[-\frac{\pi}{2}+2\pi n,\ \frac{\pi}{2}+2\pi n\right],\quad n\in \mathbb{Z}.$$

   Следовательно,

   $$D(y)=\bigcup_{n\in \mathbb{Z}}\left[-\frac{\pi}{2}+2\pi n,\ \frac{\pi}{2}+2\pi n\right].$$

5. $$y=\frac{2x}{2\sin x-1}$$

   Знаменатель не должен обращаться в нуль:

   $$2\sin x-1\ne 0,$$

   то есть

   $$\sin x\ne \frac12.$$

   Решения уравнения $$\sin x=\frac12$$:

   $$x=\frac{\pi}{6}+2\pi n,\quad x=\frac{5\pi}{6}+2\pi n,\quad n\in \mathbb{Z}.$$

   Значит,

   $$D(y)=\mathbb{R}\setminus \left\{\frac{\pi}{6}+2\pi n,\ \frac{5\pi}{6}+2\pi n,\ n\in \mathbb{Z}\right\}.$$

6. $$y=\frac{\cos x}{2\sin^2 x-\sin x}$$

   Знаменатель не равен нулю:

   $$2\sin^2 x-\sin x\ne 0.$$

   Вынесем $$\sin x$$ за скобку:

   $$\sin x(2\sin x-1)\ne 0.$$

   Отсюда

   $$\sin x\ne 0,\qquad \sin x\ne \frac12.$$

   Следовательно,

   $$x\ne \pi n,\quad x\ne \frac{\pi}{6}+2\pi n,\quad x\ne \frac{5\pi}{6}+2\pi n,\quad n\in \mathbb{Z}.$$

   Итак,

   $$D(y)=\mathbb{R}\setminus \left(\left\{\pi n,\ n\in \mathbb{Z}\right\}\cup \left\{\frac{\pi}{6}+2\pi n,\ \frac{5\pi}{6}+2\pi n,\ n\in \mathbb{Z}\right\}\right).$$

Ответ

1) $$D(y)=\mathbb{R}$$;
2) $$D(y)=\mathbb{R}\setminus \left\{\frac{\pi}{2}+\pi n,\ n\in \mathbb{Z}\right\}$$;
3) $$D(y)=\bigcup_{n\in \mathbb{Z}}[2\pi n,\ \pi+2\pi n]$$;
4) $$D(y)=\bigcup_{n\in \mathbb{Z}}\left[-\frac{\pi}{2}+2\pi n,\ \frac{\pi}{2}+2\pi n\right]$$;
5) $$D(y)=\mathbb{R}\setminus \left\{\frac{\pi}{6}+2\pi n,\ \frac{5\pi}{6}+2\pi n,\ n\in \mathbb{Z}\right\}$$;
6) $$D(y)=\mathbb{R}\setminus \left(\left\{\pi n,\ n\in \mathbb{Z}\right\}\cup \left\{\frac{\pi}{6}+2\pi n,\ \frac{5\pi}{6}+2\pi n,\ n\in \mathbb{Z}\right\}\right)$$.