Упр.1078 ГДЗ Колягин Ткачёва 11 класс (Алгебра)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Колягин, Ткачёва, Фёдорова 11 класс, Просвещение: 1078. Для функции f(x) = х^-2 + cos х найти первообразную, график которой проходит через точку М(0,5пи;-2/пи). *Цитирирование задания со ссылкой на учебник производится исключительно в учебных целях для лучшего понимания разбора решения задания. 11 kolyagin11 1078 118

Подробный ответ

Найдём первообразную для функции $$f(x)=x^{-2}+\cos x.$$

Интегрируем по частям:

$$ F(x)=\int \left(x^{-2}+\cos x\right)\,dx = \int x^{-2}\,dx+\int \cos x\,dx = -\frac{1}{x}+\sin x+C. $$

Используем точку $$M\left(0{,}5\pi;\,-\frac{2}{\pi}\right).$$ Подставим её координаты в формулу первообразной:

$$ -\frac{1}{0{,}5\pi}+\sin\left(0{,}5\pi\right)+C=-\frac{2}{\pi}. $$

$$ -\frac{2}{\pi}+1+C=-\frac{2}{\pi}, $$

$$ C=-1. $$

Следовательно, искомая первообразная:

$$ F(x)=\sin x-\frac{1}{x}-1. $$