Упр.1078 ГДЗ Колягин Ткачёва 11 класс (Алгебра)

Для функции $$f(x)=x^{-2}+\cos x$$ найти первообразную, график которой проходит через точку $$M\left(0{,}5\pi;-\frac{2}{\pi}\right)$$.

Найдём первообразную для функции $$f(x)=x^{-2}+\cos x.$$

Интегрируем по частям:

$$F(x)=\int \left(x^{-2}+\cos x\right)\,dx = \int x^{-2}\,dx+\int \cos x\,dx = -\frac{1}{x}+\sin x+C.$$

Используем точку $$M\left(0{,}5\pi;\,-\frac{2}{\pi}\right).$$ Подставим её координаты в формулу первообразной:

$$-\frac{1}{0{,}5\pi}+\sin\left(0{,}5\pi\right)+C=-\frac{2}{\pi}.$$

$$-\frac{2}{\pi}+1+C=-\frac{2}{\pi},$$

$$C=-1.$$

Следовательно, искомая первообразная:

$$F(x)=\sin x-\frac{1}{x}-1.$$

Ответ

$$F(x)=\sin x-\frac{1}{x}-1.$$