Упр.1077 ГДЗ Колягин Ткачёва 11 класс (Алгебра)

В правильной четырёхугольной призме диагональ равна $$2\sqrt{3}$$. При какой высоте призмы её объём наибольший?

Пусть $$h$$ — высота призмы, а $$a$$ — сторона квадратного основания.

Диагональ правильной четырёхугольной призмы удовлетворяет равенству

$$a^2+h^2=(2\sqrt{3})^2=12.$$

Тогда

$$a^2=12-h^2.$$

Объём призмы:

$$V=S_{\text{осн}} \cdot h=a^2h=(12-h^2)h=12h-h^3.$$

Найдём производную:

$$V'(h)=12-3h^2=3(4-h^2).$$

Критические точки:

$$12-3h^2=0 \Rightarrow h^2=4 \Rightarrow h=2,$$

так как высота призмы положительна.

При $$0<h<2$$ производная положительна, а при $$h>2$$ — отрицательна, значит, при $$h=2$$ объём достигает наибольшего значения.

Ответ

$$2$$