Упр.1076 ГДЗ Колягин Ткачёва 11 класс (Алгебра)

В правильной пирамиде $$SABC$$ из вершины $$S$$ проведена высота $$SO$$. Найти сторону основания пирамиды, если объём пирамиды является наибольшим при условии, что $$SO+AC=9$$ и $$1\leq AC\leq 8$$.

Пусть сторона основания правильной пирамиды $$ABC$$ равна $$x$$, а высота $$SO=h$$. Тогда по условию

$$x+h=9,\qquad h=9-x,\qquad 1\le x\le 8.$$

Объём пирамиды:

$$V(x)=\frac13 S_{\text{осн}} \cdot h.$$

Так как основание — равносторонний треугольник со стороной $$x$$, то

$$S_{\text{осн}}=\frac{x^2\sqrt3}{4}.$$

Следовательно,

$$V(x)=\frac13\cdot \frac{x^2\sqrt3}{4}\cdot (9-x)=\frac{\sqrt3}{12}(9x^2-x^3).$$

Найдём производную:

$$V'(x)=\frac{\sqrt3}{12}(18x-3x^2)=\frac{\sqrt3}{4}x(6-x).$$

На промежутке $$1\le x\le 8$$ производная положительна при $$1\le x<6$$ и отрицательна при $$6<x\le 8$$, значит, объём достигает наибольшего значения при

$$x=6.$$

Итак, сторона основания пирамиды равна $$6$$.

Ответ

$$6$$