Упр.1075 ГДЗ Колягин Ткачёва 11 класс (Алгебра)

Найти наибольший возможный объём цилиндра, площадь полной поверхности которого равна $$54\pi\ \text{см}^2$$, если известно, что радиус основания не меньше $$2\ \text{см}$$ и не больше $$4\ \text{см}$$.

Пусть $$r$$ — радиус основания цилиндра, $$h$$ — его высота. Тогда площадь полной поверхности равна

$$2\pi r^2+2\pi rh=54\pi.$$

Разделим на $$2\pi$$:

$$r^2+rh=27,$$

откуда

$$h=\frac{27-r^2}{r}.$$

Объём цилиндра:

$$V=\pi r^2h=\pi r^2\cdot \frac{27-r^2}{r}=\pi r(27-r^2)=27\pi r-\pi r^3.$$

Найдём производную:

$$V'(r)=27\pi-3\pi r^2=3\pi(9-r^2).$$

Критическая точка:

$$V'(r)=0 \Rightarrow 9-r^2=0 \Rightarrow r=3,$$

так как $$r>0$$ и по условию $$2\le r\le 4.$$

Проверим значение объёма в этой точке:

$$V(3)=27\pi\cdot 3-\pi\cdot 3^3=81\pi-27\pi=54\pi.$$

На концах отрезка $$[2;4]$$ объём меньше, значит при $$r=3$$ достигается наибольшее значение.

Ответ

$$54\pi\ \text{см}^3$$