Упр.1074 ГДЗ Колягин Ткачёва 11 класс (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Колягин, Ткачёва, Фёдорова 11 класс, Просвещение: 1074 Периметр осевого сечения цилиндра 6 дм. При каком радиусе основания цилиндра его объём будет наибольшим?

Пусть $$r$$ — радиус основания цилиндра, $$h$$ — его высота.

Осевое сечение цилиндра — прямоугольник со сторонами $$2r$$ и $$h$$, поэтому его периметр равен

$$2(2r+h)=6.$$

Отсюда

$$2r+h=3, \qquad h=3-2r.$$

Объём цилиндра:

$$V=\pi r^2h=\pi r^2(3-2r)=3\pi r^2-2\pi r^3.$$

Найдём производную:

$$V'(r)=6\pi r-6\pi r^2=6\pi r(1-r).$$

Критические точки:

$$6\pi r(1-r)=0 \Rightarrow r=0 \text{ или } r=1.$$

Так как $$r>0$$ и $$h=3-2r>0$$, то $$0<r<\frac{3}{2}$$. На этом промежутке функция $$V(r)$$ достигает максимума при $$r=1$$.

Ответ

$$1\text{ дм}$$