Упр.1073 ГДЗ Колягин Ткачёва 11 класс (Алгебра)
- $$y=\frac{1}{3}x^3-x^2-3x+9$$
- $$y=-x^4+6x^2-9$$
- $$y=x^2+\frac{1}{x}$$
- $$y=x^2+2/2x$$
$$y=\frac13x^3-x^2-3x+9$$
$$D(x)=(-\infty;+\infty)$$
Проверим чётность:
$$f(-x)=\frac13(-x)^3-(-x)^2-3(-x)+9=-\frac13x^3-x^2+3x+9$$
Так как $$f(-x)\ne f(x)$$ и $$f(-x)\ne -f(x)$$, функция ни чётная, ни нечётная.
Найдём производную:
$$f'(x)=x^2-2x-3=(x+1)(x-3)$$
$$f'(x)=0 \iff x=-1 \text{ или } x=3$$
Знак производной:
$$f'(x)>0 \text{ при } x<-1 \text{ и } x>3,\qquad f'(x)<0 \text{ при } -1<x<3$$
Значит, функция возрастает на $$(-\infty;-1]$$ и $$[3;+\infty)$$, убывает на $$[-1;3]$$.
Экстремумы:
$$y(-1)=\frac13(-1)^3-(-1)^2-3(-1)+9=\frac{26}{3}$$
$$y(3)=\frac13\cdot 27-9-9+9=0$$
Следовательно, в точке $$x=-1$$ — максимум, в точке $$x=3$$ — минимум.
Для построения графика удобно отметить точки:
$$(-3,0),\ (0,9),\ (6,27)$$
$$y=-x^4+6x^2-9$$
$$D(x)=(-\infty;+\infty)$$
Проверим чётность:
$$f(-x)=-(-x)^4+6(-x)^2-9=-x^4+6x^2-9=f(x)$$
Функция чётная.
Найдём производную:
$$f'(x)=-4x^3+12x=4x(3-x^2)$$
$$f'(x)=0 \iff x=0 \text{ или } x=\pm\sqrt3$$
Знак производной:
$$f'(x)>0 \text{ на } (-\infty;-\sqrt3]\cup[0;\sqrt3],\qquad f'(x)<0 \text{ на } [-\sqrt3;0]\cup[\sqrt3;+\infty)$$
Значит, функция возрастает на $$(-\infty;-\sqrt3]$$ и $$[0;\sqrt3]$$, убывает на $$[-\sqrt3;0]$$ и $$[\sqrt3;+\infty)$$.
Экстремумы:
$$y(\pm\sqrt3)=-9+6\cdot 3-9=0$$
$$y(0)=-9$$
Следовательно, в точках $$x=\pm\sqrt3$$ — максимумы, в точке $$x=0$$ — минимум.
Для построения графика удобно отметить точки:
$$(-3,-36),\ (1,-4),\ (3,-36)$$
$$y=\frac{x^2+1}{x}=x+\frac1x$$
$$D(x)=(-\infty;0)\cup(0;+\infty)$$
Проверим чётность:
$$f(-x)=\frac{(-x)^2+1}{-x}=-\frac{x^2+1}{x}=-f(x)$$
Функция нечётная.
Найдём производную:
$$f'(x)=1-\frac1{x^2}=\frac{x^2-1}{x^2}$$
$$f'(x)=0 \iff x=\pm1$$
Так как $$x^2>0$$ при $$x\ne0$$, знак производной определяется числителем:
$$f'(x)>0 \text{ при } x\le -1 \text{ и } x\ge 1,\qquad f'(x)<0 \text{ при } -1<x<0 \text{ и } 0<x<1$$
Значит, функция возрастает на $$(-\infty;-1]$$ и $$[1;+\infty)$$, убывает на $$[-1;0)$$ и $$(0;1]$$.
Экстремумы:
$$y(1)=2,\qquad y(-1)=-2$$
Асимптоты:
$$\lim\limits_{x\to\pm\infty}\left(\frac{x^2+1}{x}-x\right)=\lim\limits_{x\to\pm\infty}\frac1x=0$$
Следовательно, наклонная асимптота: $$y=x$$.
Так как $$x=0$$ не входит в область определения, вертикальная асимптота: $$x=0$$.
$$y=\frac{x^2+2}{2x}=\frac{x}{2}+\frac1x$$
$$D(x)=(-\infty;0)\cup(0;+\infty)$$
Проверим чётность:
$$f(-x)=\frac{(-x)^2+2}{2(-x)}=-\frac{x^2+2}{2x}=-f(x)$$
Функция нечётная.
Найдём производную:
$$f'(x)=\frac12-\frac1{x^2}=\frac{x^2-2}{2x^2}$$
$$f'(x)=0 \iff x=\pm\sqrt2$$
Знак производной:
$$f'(x)>0 \text{ при } x\le -\sqrt2 \text{ и } x\ge \sqrt2,\qquad f'(x)<0 \text{ при } -\sqrt2<x<0 \text{ и } 0<x<\sqrt2$$
Значит, функция возрастает на $$(-\infty;-\sqrt2]$$ и $$[\sqrt2;+\infty)$$, убывает на $$[-\sqrt2;0)$$ и $$(0;\sqrt2]$$.
Экстремумы:
$$y(\sqrt2)=\frac{2+2}{2\sqrt2}=\sqrt2,\qquad y(-\sqrt2)=-\sqrt2$$
Асимптоты:
$$\lim\limits_{x\to\pm\infty}\left(\frac{x^2+2}{2x}-\frac{x}{2}\right)=\lim\limits_{x\to\pm\infty}\frac1x=0$$
Следовательно, наклонная асимптота: $$y=\frac{x}{2}$$.
Вертикальная асимптота: $$x=0$$.
Ответ
1) $$D(x)=(-\infty;+\infty)$$, функция ни чётная, ни нечётная; возрастает на $$(-\infty;-1]$$ и $$[3;+\infty)$$, убывает на $$[-1;3]$$; максимум $$y(-1)=\frac{26}{3}$$, минимум $$y(3)=0$$.
2) $$D(x)=(-\infty;+\infty)$$, функция чётная; возрастает на $$(-\infty;-\sqrt3]$$ и $$[0;\sqrt3]$$, убывает на $$[-\sqrt3;0]$$ и $$[\sqrt3;+\infty)$$; максимумы $$y(\pm\sqrt3)=0$$, минимум $$y(0)=-9$$.
3) $$D(x)=(-\infty;0)\cup(0;+\infty)$$, функция нечётная; возрастает на $$(-\infty;-1]$$ и $$[1;+\infty)$$, убывает на $$[-1;0)$$ и $$(0;1]$$; максимум $$y(1)=2$$, минимум $$y(-1)=-2$$; асимптоты $$y=x$$ и $$x=0$$.
4) $$D(x)=(-\infty;0)\cup(0;+\infty)$$, функция нечётная; возрастает на $$(-\infty;-\sqrt2]$$ и $$[\sqrt2;+\infty)$$, убывает на $$[-\sqrt2;0)$$ и $$(0;\sqrt2]$$; максимум $$y(\sqrt2)=\sqrt2$$, минимум $$y(-\sqrt2)=-\sqrt2$$; асимптоты $$y=\frac{x}{2}$$ и $$x=0$$.
