Упр.1072 ГДЗ Колягин Ткачёва 11 класс (Алгебра)
$$y=-\frac{x^4}{4}+x^2$$
Область определения: $$D(x)=(-\infty;+\infty).$$
Функция чётная, так как
$$f(-x)=-\frac{(-x)^4}{4}+(-x)^2=-\frac{x^4}{4}+x^2=f(x).$$
Найдём производную:
$$f'(x)=-\frac14\cdot 4x^3+2x=2x-x^3=x(2-x^2).$$
Критические точки:
$$x(2-x^2)=0 \;\Rightarrow\; x=0,\; x=\pm\sqrt2.$$
Исследуем знак производной:
$$f'(x)\ge 0 \;\Rightarrow\; x\in(-\infty;-\sqrt2]\cup[0;\sqrt2].$$
Значит, функция возрастает на промежутках $$(-\infty;-\sqrt2]$$ и $$[0;\sqrt2].$$
Найдём значения в точках экстремума:
$$y(\sqrt2)=-\frac{(\sqrt2)^4}{4}+(\sqrt2)^2=-\frac{4}{4}+2=1,$$
$$y(0)=0.$$
Также
$$y(2)=-\frac{16}{4}+4=0,\qquad y(3)=-\frac{81}{4}+9=-\frac{45}{4}=-11{,}25.$$
$$y=x^4-2x^2-3$$
Область определения: $$D(x)=(-\infty;+\infty).$$
Функция чётная, так как
$$f(-x)=(-x)^4-2(-x)^2-3=x^4-2x^2-3=f(x).$$
Найдём производную:
$$f'(x)=4x^3-4x=4x(x^2-1)=4x(x-1)(x+1).$$
Критические точки:
$$x=-1,\;0,\;1.$$
Исследуем знак производной:
$$f'(x)\ge 0 \;\Rightarrow\; x\in[-1;0]\cup[1;+\infty).$$
Значит, функция возрастает на промежутках $$[-1;0]$$ и $$[1;+\infty).$$
Найдём значения в точках экстремума:
$$y(1)=1-2-3=-4,$$
$$y(0)=-3.$$
Также
$$y(-2)=16-8-3=5,\qquad y(2)=16-8-3=5.$$
Ответ
1) $$D(x)=(-\infty;+\infty),$$ функция чётная, возрастает на $$(-\infty;-\sqrt2]$$ и $$[0;\sqrt2],$$
$$y_{\max}=1$$ при $$x=\pm\sqrt2,$$ $$y(0)=0,$$ $$y(2)=0,$$ $$y(3)=-11{,}25.$$
2) $$D(x)=(-\infty;+\infty),$$ функция чётная, возрастает на $$[-1;0]$$ и $$[1;+\infty),$$
$$y(0)=-3,$$ $$y(1)=-4,$$ $$y(-2)=y(2)=5.$$
