Упр.1071 ГДЗ Колягин Ткачёва 11 класс (Алгебра)
- 1071. Исследовать функцию $$y=f(x)$$ и построить её график:
1) $$f(x)=4x^3+6x^2$$;
2) $$f(x)=3x^2-2x^3$$;
3) $$f(x)=\frac{1}{3}x^3-x$$;
4) $$f(x)=x^4-\frac{1}{2}x^2$$.
1) $$f(x)=4x^3+6x^2$$
$$D(f)=(-\infty;+\infty).$$
Функция ни чётная, ни нечётная, так как
$$f(-x)=4(-x)^3+6(-x)^2=-4x^3+6x^2 \ne f(x), \quad f(-x)\ne -f(x).$$
Найдём производную:
$$f'(x)=12x^2+12x=12x(x+1).$$
Критические точки: $$x=-1,\; x=0.$$
Исследуем знак производной:
$$f'(x)>0 \text{ при } x<-1 \text{ и } x>0,\qquad f'(x)<0 \text{ при } -1<x<0.$$
Значит, функция возрастает на $$(-\infty;-1)$$ и $$(0;+\infty),$$ убывает на $$(-1;0).$$
Экстремумы:
$$f(-1)=4(-1)^3+6(-1)^2=2,$$
$$f(0)=0.$$
Точки для построения графика: $$(-2;-8),\ (1;10).$$
2) $$f(x)=3x^2-2x^3$$
$$D(f)=(-\infty;+\infty).$$
Функция ни чётная, ни нечётная, так как
$$f(-x)=3(-x)^2-2(-x)^3=3x^2+2x^3 \ne f(x), \quad f(-x)\ne -f(x).$$
Найдём производную:
$$f'(x)=6x-6x^2=6x(1-x).$$
Критические точки: $$x=0,\; x=1.$$
Исследуем знак производной:
$$f'(x)>0 \text{ при } 0<x<1,\qquad f'(x)<0 \text{ при } x<0 \text{ и } x>1.$$
Значит, функция убывает на $$(-\infty;0)$$ и $$(1;+\infty),$$ возрастает на $$(0;1).$$
Экстремумы:
$$f(0)=0,$$
$$f(1)=3-2=1.$$
Точки для построения графика: $$(-1;5),\ (2;-4).$$
3) $$f(x)=\frac13x^3-x$$
$$D(f)=(-\infty;+\infty).$$
Функция нечётная, так как
$$f(-x)=\frac13(-x)^3-(-x)=-\frac13x^3+x=-f(x).$$
Найдём производную:
$$f'(x)=x^2-1=(x-1)(x+1).$$
Критические точки: $$x=-1,\; x=1.$$
Исследуем знак производной:
$$f'(x)>0 \text{ при } x<-1 \text{ и } x>1,\qquad f'(x)<0 \text{ при } -1<x<1.$$
Значит, функция возрастает на $$(-\infty;-1)$$ и $$(1;+\infty),$$ убывает на $$(-1;1).$$
Экстремумы:
$$f(-1)=\frac13(-1)^3-(-1)=\frac23,$$
$$f(1)=\frac13-1=-\frac23.$$
Точки для построения графика: $$(0;0),\ (3;6).$$
4) $$f(x)=x^4-\frac12x^2$$
$$D(f)=(-\infty;+\infty).$$
Функция чётная, так как
$$f(-x)=(-x)^4-\frac12(-x)^2=x^4-\frac12x^2=f(x).$$
Найдём производную:
$$f'(x)=4x^3-x=x(4x^2-1)=x(2x-1)(2x+1).$$
Критические точки: $$x=-\frac12,\; x=0,\; x=\frac12.$$
Исследуем знак производной:
$$f'(x)>0 \text{ при } -\frac12<x<0 \text{ и } x>\frac12,$$
$$f'(x)<0 \text{ при } x<-\frac12 \text{ и } 0<x<\frac12.$$
Значит, функция возрастает на $$\left(-\frac12;0\right)$$ и $$\left(\frac12;+\infty\right),$$ убывает на $$\left(-\infty;-\frac12\right)$$ и $$\left(0;\frac12\right).$$
Экстремумы:
$$f(0)=0,$$
$$f\left(\frac12\right)=\frac1{16}-\frac12\cdot\frac14=-\frac1{16}.$$
Точки для построения графика: $$(1;\frac12),\ (2;14).$$
Ответ
1) $$D(f)=(-\infty;+\infty),$$ возрастает на $$(-\infty;-1)$$ и $$(0;+\infty),$$ убывает на $$(-1;0),$$
максимум $$f(-1)=2,$$ минимум $$f(0)=0.$$
2) $$D(f)=(-\infty;+\infty),$$ возрастает на $$(0;1),$$ убывает на $$(-\infty;0)$$ и $$(1;+\infty),$$
минимум $$f(0)=0,$$ максимум $$f(1)=1.$$
3) $$D(f)=(-\infty;+\infty),$$ функция нечётная, возрастает на $$(-\infty;-1)$$ и $$(1;+\infty),$$ убывает на $$(-1;1),$$
максимум $$f(-1)=\frac23,$$ минимум $$f(1)=-\frac23.$$
4) $$D(f)=(-\infty;+\infty),$$ функция чётная, возрастает на $$\left(-\frac12;0\right)$$ и $$\left(\frac12;+\infty\right),$$ убывает на $$\left(-\infty;-\frac12\right)$$ и $$\left(0;\frac12\right),$$
максимум $$f(0)=0,$$ минимум $$f\left(\frac12\right)=-\frac1{16}.$$
