Упр.1070 ГДЗ Колягин Ткачёва 11 класс (Алгебра)
- Исследовать с помощью производной функцию $$y=x^3-5x^2-x+5$$ и построить её график. Записать уравнение касательной к графику этой функции в точке с абсциссой, равной $$4$$.
Рассмотрим функцию $$y=x^3-5x^2-x+5.$$
Найдём производную:
$$y’ = 3x^2-10x-1.$$
Исследуем знак производной. Решим уравнение
$$3x^2-10x-1=0.$$
$$D=(-10)^2-4\cdot 3\cdot(-1)=100+12=112=16\cdot 7,$$
$$x_{1,2}=\frac{10\pm\sqrt{112}}{6}=\frac{10\pm 4\sqrt7}{6}=\frac{5\pm 2\sqrt7}{3}.$$
Так как коэффициент при $$x^2$$ положительный, то
$$y’>0 \text{ при } x<\frac{5-2\sqrt7}{3} \text{ и } x>\frac{5+2\sqrt7}{3},$$
$$y'<0 \text{ при } \frac{5-2\sqrt7}{3}<x<\frac{5+2\sqrt7}{3}.$$
Следовательно, функция возрастает на промежутках
$$\left(-\infty,\frac{5-2\sqrt7}{3}\right)\cup\left(\frac{5+2\sqrt7}{3},+\infty\right),$$
убывает на промежутке
$$\left(\frac{5-2\sqrt7}{3},\frac{5+2\sqrt7}{3}\right).$$
Найдём значения функции в критических точках:
$$y\!\left(\frac{5-2\sqrt7}{3}\right)=\frac{70+56\sqrt7}{27},$$
$$y\!\left(\frac{5+2\sqrt7}{3}\right)=\frac{70-56\sqrt7}{27}.$$
Значит, в точке $$x=\frac{5-2\sqrt7}{3}$$ — максимум, а в точке $$x=\frac{5+2\sqrt7}{3}$$ — минимум.
Для построения графика удобно отметить точки пересечения с осями:
$$x^3-5x^2-x+5=(x-5)(x-1)(x+1),$$
поэтому нули функции: $$x=-1,\;1,\;5.$$
Также $$y(0)=5.$$
Теперь найдём уравнение касательной в точке с абсциссой $$x=4$$:
$$y'(4)=3\cdot 4^2-10\cdot 4-1=48-40-1=7,$$
$$y(4)=4^3-5\cdot 4^2-4+5=64-80-4+5=-15.$$
Уравнение касательной:
$$y-(-15)=7(x-4),$$
$$y+15=7x-28,$$
$$y=7x-43.$$
Ответ
Функция возрастает на $$\left(-\infty,\frac{5-2\sqrt7}{3}\right)\cup\left(\frac{5+2\sqrt7}{3},+\infty\right),$$ убывает на $$\left(\frac{5-2\sqrt7}{3},\frac{5+2\sqrt7}{3}\right).$$
Максимум при $$x=\frac{5-2\sqrt7}{3},$$ минимум при $$x=\frac{5+2\sqrt7}{3}.$$
Точки для построения графика: $$(-1,0),\ (0,5),\ (1,0),\ (5,0).$$
Касательная: $$y=7x-43.$$
