Упр.1069 ГДЗ Колягин Ткачёва 11 класс (Алгебра)

Исследовать с помощью производной функцию $$y=x^3-3x+2$$ и построить её график. Найти точки, в которых касательные к графику параллельны оси $$Ox$$.

Исследуем функцию $$y=x^3-3x+2$$ с помощью производной.

Найдём производную:

$$y’=(x^3-3x+2)’=3x^2-3=3(x^2-1)=3(x-1)(x+1).$$

Критические точки получаем из уравнения $$y’=0$$:

$$3(x-1)(x+1)=0 \Rightarrow x=-1,\; x=1.$$

Определим знак производной:

• при $$x<-1$$ имеем $$y’>0$$, функция возрастает;
• при $$-1<x<1$$ имеем $$y'<0$$, функция убывает;
• при $$x>1$$ имеем $$y’>0$$, функция возрастает.

Значит, в точке $$x=-1$$ — максимум, а в точке $$x=1$$ — минимум.

Найдём значения функции в этих точках:

$$y(-1)=(-1)^3-3(-1)+2=-1+3+2=4,$$

$$y(1)=1-3+2=0.$$

Следовательно, точки экстремума: $$(-1;4)$$ и $$(1;0).$$

Для построения графика отметим ещё несколько точек:

$$y(-2)=(-2)^3-3(-2)+2=-8+6+2=0,$$

$$y(0)=2,$$

$$y(2)=8-6+2=4.$$

Получаем точки $$(-2;0),\ (0;2),\ (2;4).$$

Касательные к графику параллельны оси $$Ox$$ в точках, где $$y’=0$$, то есть при $$x=-1$$ и $$x=1$$. Это точки $$(-1;4)$$ и $$(1;0).$$

Ответ

$$y’=3x^2-3=3(x-1)(x+1).$$

Функция возрастает на $$(-\infty;-1)$$ и $$(1;+\infty),$$ убывает на $$(-1;1).$$

Точки экстремума: максимум $$(-1;4),$$ минимум $$(1;0).$$

Касательные параллельны оси $$Ox$$ в точках $$(-1;4)$$ и $$(1;0).$$