Упр.1068 ГДЗ Колягин Ткачёва 11 класс (Алгебра)

Найти экстремумы функции: 1) $$f(x)=x^3+3x^2-9x+4$$; 2) $$f(x)=x^4-2x^5+5$$.

1. $$f(x)=x^3+3x^2-9x+4$$

   Найдём производную:

   $$f'(x)=3x^2+6x-9=3(x^2+2x-3)=3(x+3)(x-1).$$

   Критические точки:

   $$f'(x)=0 \Rightarrow x=-3,\; x=1.$$

   Исследуем знак производной:

   $$f'(x)>0 \text{ при } x<-3 \text{ и } x>1,$$

   $$f'(x)<0 \text{ при } -3<x<1.$$

   Значит, в точке $$x=-3$$ функция меняет возрастание на убывание, то есть это точка максимума, а в точке $$x=1$$ — точка минимума.

2. $$f(x)=x^4-2x^5+5$$

   Найдём производную:

   $$f'(x)=4x^3-10x^4=2x^3(2-5x).$$

   Критические точки:

   $$f'(x)=0 \Rightarrow x=0,\; x=\frac25.$$

   Исследуем знак производной:

   $$f'(x)<0 \text{ при } x<0,$$

   $$f'(x)>0 \text{ при } 0<x<\frac25,$$

   $$f'(x)<0 \text{ при } x>\frac25.$$

   Следовательно, в точке $$x=0$$ функция имеет минимум, а в точке $$x=\frac25$$ — максимум.

Ответ

1) $$x=-3$$ — точка максимума, $$x=1$$ — точка минимума.

2) $$x=0$$ — точка минимума, $$x=\frac25$$ — точка максимума.