Упр.1067 ГДЗ Колягин Ткачёва 11 класс (Алгебра)

1. При каких значениях $$a$$ функция $$y=x^3-3ax^2+27x-5$$ имеет единственную стационарную точку?

Найдём производную функции:

$$y=x^3-3ax^2+27x-5$$

$$y'(x)=3x^2-6ax+27$$

Стационарные точки находятся из уравнения

$$3x^2-6ax+27=0.$$

Чтобы функция имела единственную стационарную точку, это квадратное уравнение должно иметь единственный корень, то есть его дискриминант должен быть равен нулю:

$$D=(-6a)^2-4\cdot 3\cdot 27=0$$

$$36a^2-324=0$$

$$36a^2=324$$

$$a^2=9$$

$$a=\pm 3.$$

Ответ

$$a=\pm 3$$