Упр.1065 ГДЗ Колягин Ткачёва 11 класс (Алгебра)

Найти наибольшее и наименьшее значения функции $$y=2-3\sin x+4\cos x$$ на отрезке $$\left[-\frac{4\pi}{3};\frac{2\pi}{3}\right]$$.

Найдём производную функции:

$$y’= -3\cos x — 4\sin x.$$

Стационарные точки определяются из уравнения

$$-3\cos x — 4\sin x=0,$$

то есть

$$4\sin x=-3\cos x,$$

$$\tg x=-\frac{3}{4}.$$

Пусть $$\sin x=-\frac{3}{5}, \quad \cos x=\frac{4}{5}$$ или $$\sin x=\frac{3}{5}, \quad \cos x=-\frac{4}{5}.$$

Подставим эти значения в функцию $$y=2-3\sin x+4\cos x$$:

$$y_1=2-3\left(-\frac{3}{5}\right)+4\cdot\frac{4}{5}=2+\frac{9}{5}+\frac{16}{5}=7,$$

$$y_2=2-3\cdot\frac{3}{5}+4\left(-\frac{4}{5}\right)=2-\frac{9}{5}-\frac{16}{5}=-3.$$

Проверим значения на концах отрезка. Так как

$$\frac{2\pi}{3}-\left(-\frac{4\pi}{3}\right)=2\pi,$$

то концы отрезка отличаются на период функции, и значения на них совпадают. Следовательно, достаточно сравнить найденные значения функции.

Наибольшее значение равно $$7,$$ наименьшее — $$-3.$$

Ответ

$$-3;\ 7.$$