Упр.1064 ГДЗ Колягин Ткачёва 11 класс (Алгебра)

1. $$y=\ln x-x$$ на отрезке $$[0,5; 4]$$.
2. $$y=x\sqrt{1-x^2}$$ на отрезке $$[0; 1]$$.

1. $$y=\ln x-x,\quad x\in[0{,}5;4].$$

   Найдём производную:

   $$y'(x)=\frac{1}{x}-1=\frac{1-x}{x}.$$

   На отрезке $$[0{,}5;4]$$ критическая точка: $$x=1.$$

   Вычислим значения функции в концах отрезка и в критической точке:

   $$y(0{,}5)=\ln 0{,}5-0{,}5=\ln \frac12-\frac12,$$

   $$y(1)=\ln 1-1=-1,$$

   $$y(4)=\ln 4-4.$$

   Сравниваем значения: наибольшее значение равно $$\ln 4-4,$$ наименьшее — $$-1.$$

2. $$y=x\sqrt{1-x^2},\quad x\in[0;1].$$

   Найдём производную:

   $$y'(x)=\sqrt{1-x^2}+x\cdot\frac{-2x}{2\sqrt{1-x^2}}=\frac{1-2x^2}{\sqrt{1-x^2}}.$$

   Критическая точка внутри отрезка определяется из уравнения:

   $$1-2x^2=0,$$

   $$x=\frac{1}{\sqrt2}.$$

   Вычислим значения функции:

   $$y(0)=0\cdot\sqrt{1-0^2}=0,$$

   $$y\left(\frac{1}{\sqrt2}\right)=\frac{1}{\sqrt2}\sqrt{1-\frac12}=\frac{1}{\sqrt2}\cdot\frac{1}{\sqrt2}=\frac12,$$

   $$y(1)=1\cdot\sqrt{1-1^2}=0.$$

   Следовательно, наибольшее значение равно $$\frac12,$$ наименьшее — $$0.$$

Ответ

1) Наибольшее значение: $$\ln 4-4,$$ наименьшее: $$-1.$$

2) Наибольшее значение: $$\frac12,$$ наименьшее: $$0.$$