Упр.1063 ГДЗ Колягин Ткачёва 11 класс (Алгебра)

1. $$y=\sqrt{x+5}$$ на отрезке $$[-1;4]$$.
2. $$y=\sin x+2\sqrt{2\cos x}$$ на отрезке $$\left[0;\frac{\pi}{2}\right]$$.

1) Рассмотрим функцию $$y=\sqrt{x+5}$$ на отрезке $$[-1;4].$$

Найдём производную:

$$y'(x)=\frac{1}{2\sqrt{x+5}}>0.$$

Значит, функция возрастает на всём отрезке $$[-1;4].$$ Тогда наименьшее значение она принимает при $$x=-1,$$ а наибольшее — при $$x=4.$$

$$y(-1)=\sqrt{-1+5}=\sqrt{4}=2,$$

$$y(4)=\sqrt{4+5}=\sqrt{9}=3.$$

Следовательно, $$y_{\min}=2,$$ $$y_{\max}=3.$$

2) Рассмотрим функцию $$y=\sin x+2\sqrt{2}\cos x$$ на отрезке $$\left[0;\frac{\pi}{2}\right].$$

Найдём производную:

$$y'(x)=\cos x-2\sqrt{2}\sin x.$$

Приравняем её к нулю:

$$\cos x-2\sqrt{2}\sin x=0,$$

$$\cos x=2\sqrt{2}\sin x,$$

$$\tg x=\frac{1}{2\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{2}}{4}.$$

Так как $$x\in\left[0;\frac{\pi}{2}\right],$$ то $$\sin x>0,$$ $$\cos x>0.$$ Найдём значения синуса и косинуса:

$$\cos x=\frac{1}{\sqrt{\tg^2 x+1}}=\frac{1}{\sqrt{\frac{1}{8}+1}}=\frac{1}{\sqrt{\frac{9}{8}}}=\frac{2\sqrt{2}}{3},$$

$$\sin x=\tg x\cdot \cos x=\frac{\sqrt{2}}{4}\cdot \frac{2\sqrt{2}}{3}=\frac{1}{3}.$$

Тогда в критической точке:

$$y=\frac{1}{3}+2\sqrt{2}\cdot \frac{2\sqrt{2}}{3}=\frac{1}{3}+\frac{8}{3}=3.$$

Проверим концы отрезка:

$$y(0)=\sin 0+2\sqrt{2}\cos 0=2\sqrt{2},$$

$$y\left(\frac{\pi}{2}\right)=\sin \frac{\pi}{2}+2\sqrt{2}\cos \frac{\pi}{2}=1.$$

Следовательно, наименьшее значение равно $$1,$$ а наибольшее — $$3.$$

Ответ

1) $$2; 3.$$

2) $$1; 3.$$