Упр.1062 ГДЗ Колягин Ткачёва 11 класс (Алгебра)
- 1062. Найти наибольшее и наименьшее значения функции:
1) $$y=2\sin x+\sin 2x$$ на отрезке $$\left[0;\frac{3\pi}{2}\right]$$;
2) $$y=2\sin x+\cos 2x$$ на отрезке $$\left[0;\frac{\pi}{2}\right]$$.
$$y=2\sin x+\sin 2x,\quad x\in\left[0;\frac{3\pi}{2}\right].$$
Найдём производную:
$$y’ = 2\cos x + 2\cos 2x.$$
Приравняем её к нулю:
$$2\cos x + 2\cos 2x=0,$$
$$\cos x+\cos 2x=0.$$
Так как $$\cos 2x=2\cos^2 x-1,$$ получаем
$$2\cos^2 x+\cos x-1=0.$$
Обозначим $$t=\cos x$$. Тогда
$$2t^2+t-1=0,$$
$$D=1+8=9,$$
$$t_1=\frac{-1-3}{4}=-1,\qquad t_2=\frac{-1+3}{4}=\frac12.$$
Следовательно, на отрезке критические точки:
$$x=\pi,\quad x=\frac{\pi}{3}.$$
Проверим значения функции в концах отрезка и в критических точках:
$$y(0)=2\sin 0+\sin 0=0,$$
$$y\left(\frac{\pi}{3}\right)=2\sin\frac{\pi}{3}+\sin\frac{2\pi}{3}=2\cdot\frac{\sqrt3}{2}+\frac{\sqrt3}{2}=\frac{3\sqrt3}{2},$$
$$y(\pi)=2\sin\pi+\sin 2\pi=0,$$
$$y\left(\frac{3\pi}{2}\right)=2\sin\frac{3\pi}{2}+\sin 3\pi=2\cdot(-1)+0=-2.$$
Значит, наибольшее значение равно $$\frac{3\sqrt3}{2},$$ а наименьшее — $$-2.$$
$$y=2\sin x+\cos 2x,\quad x\in\left[0;\frac{\pi}{2}\right].$$
Найдём производную:
$$y’ = 2\cos x — 2\sin 2x.$$
Приравняем её к нулю:
$$2\cos x-2\sin 2x=0,$$
$$\cos x-\sin 2x=0.$$
Так как $$\sin 2x=2\sin x\cos x,$$ получаем
$$\cos x-2\sin x\cos x=0,$$
$$\cos x(1-2\sin x)=0.$$
Отсюда
$$\cos x=0 \quad \text{или} \quad \sin x=\frac12.$$
На отрезке $$\left[0;\frac{\pi}{2}\right]$$ получаем точки:
$$x=\frac{\pi}{2},\quad x=\frac{\pi}{6}.$$
Вычислим значения функции в концах отрезка и в критических точках:
$$y(0)=2\sin 0+\cos 0=1,$$
$$y\left(\frac{\pi}{6}\right)=2\sin\frac{\pi}{6}+\cos\frac{\pi}{3}=2\cdot\frac12+\frac12=\frac32,$$
$$y\left(\frac{\pi}{2}\right)=2\sin\frac{\pi}{2}+\cos\pi=2-1=1.$$
Следовательно, наибольшее значение равно $$\frac32,$$ а наименьшее — $$1.$$
Ответ
1) $$y_{\min}=-2,\quad y_{\max}=\frac{3\sqrt3}{2}.$$
2) $$y_{\min}=1,\quad y_{\max}=\frac32.$$
