Упр.1061 ГДЗ Колягин Ткачёва 11 класс (Алгебра)

1. $$y=3x^2+4x+\frac{4}{x^2}+x+1$$
2. $$y=x^2+6x+\frac{3}{3x+4}$$

1. $$y=\frac{3x^2+4x+4}{x^2+x+1}$$

   Найдём производную по формуле производной частного:

   $$y'(x)=\frac{(6x+4)(x^2+x+1)-(3x^2+4x+4)(2x+1)}{(x^2+x+1)^2}$$

   Раскроем скобки:

   $$y'(x)=\frac{6x^3+10x^2+10x+4-6x^3-11x^2-12x-4}{(x^2+x+1)^2} =\frac{-x^2-2x}{(x^2+x+1)^2} =-\frac{x(x+2)}{(x^2+x+1)^2}$$

   Так как $$\left(x^2+x+1\right)^2>0$$ при всех $$x$$, знак производной определяется числителем:

   $$y'(x)=0 \iff x(x+2)=0 \iff x=-2 \text{ или } x=0$$

   Исследуем знак $$y'(x)$$:

   при $$x<-2$$ имеем $$y'(x)<0$$, при $$-2<x<0$$ имеем $$y'(x)>0$$, при $$x>0$$ имеем $$y'(x)<0$$.

   Значит, в точке $$x=-2$$ — минимум, а в точке $$x=0$$ — максимум.

2. $$y=\frac{x^2+6x+3}{3x+4}$$

   Область определения: $$3x+4\ne 0$$, то есть $$x\ne -\frac{4}{3}$$.

   Найдём производную:

   $$y'(x)=\frac{(2x+6)(3x+4)-3(x^2+6x+3)}{(3x+4)^2}$$

   $$y'(x)=\frac{6x^2+26x+24-3x^2-18x-9}{(3x+4)^2} =\frac{3x^2+8x+15}{(3x+4)^2}$$

   Стационарные точки находятся из уравнения:

   $$3x^2+8x+15=0$$

   Дискриминант:

   $$D=8^2-4\cdot 3\cdot 15=64-180=-116<0$$

   Следовательно, действительных корней нет, значит стационарных точек нет.

Ответ

1) $$x=-2$$ — точка минимума, $$x=0$$ — точка максимума.

2) Стационарных точек нет.