Упр.1060 ГДЗ Колягин Ткачёва 11 класс (Алгебра)

1060. Найти точки экстремума функции:
      
      1) $$y=(x-1)^3(x-2)^2$$;
      
      2) $$y=4+(6-x)^4$$.

1. $$y=(x-1)^3(x-2)^2$$

   Найдём производную:

   $$y’ = 3(x-1)^2(x-2)^2 + (x-1)^3 \cdot 2(x-2)$$
   $$y’ = (x-1)^2(x-2)\bigl(3(x-2)+2(x-1)\bigr)$$
   $$y’ = (x-1)^2(x-2)(5x-8)$$

   Критические точки:

   $$x=1,\quad x=2,\quad x=\frac{8}{5}$$

   Так как множитель $$(x-1)^2$$ не меняет знак, знак производной определяется выражением $$(x-2)(5x-8)$$.

   Исследуем знак производной:

   • при $$x<\frac{8}{5}$$ имеем $$y’>0$$;
   • при $$\frac{8}{5}<x<2$$ имеем $$y'<0$$;
   • при $$x>2$$ имеем $$y’>0$$.

   Значит, в точке $$x=\frac{8}{5}$$ функция имеет максимум, а в точке $$x=2$$ — минимум.

2. $$y=4+(6-x)^4$$

   Найдём производную:

   $$y’ = 4(6-x)^3\cdot(-1) = -4(6-x)^3$$

   Критическая точка:

   $$6-x=0,\quad x=6$$

   Так как $$y’=-4(6-x)^3$$, то:

   • при $$x<6$$ имеем $$y'<0$$;
   • при $$x>6$$ имеем $$y’>0$$.

   Следовательно, в точке $$x=6$$ функция имеет минимум.

Ответ

1) $$x=\frac{8}{5}$$ — точка максимума, $$x=2$$ — точка минимума.

2) $$x=6$$ — точка минимума.