Упр.106 ГДЗ Колягин Ткачёва 11 класс (Алгебра)

Задача

Построить график функции:

$$y=\arccos(\cos x)$$;
$$y=\arcsin(\cos x)$$.

Подробный ответ

1) $$y=\arccos(\cos x)$$

На отрезке $$0\le x\le \pi$$ имеем $$\cos x\in[-1;1]$$ и потому

$$y=\arccos(\cos x)=x.$$

Так как функция $$\arccos(\cos x)$$ чётная и периодическая с периодом $$T=2\pi$$, её график на всей числовой прямой получается продолжением этого отрезка. На каждом промежутке длины $$2\pi$$ график имеет вид «пилы» и проходит через точки

$$\ldots,(-2\pi,0),(-\pi,\pi),(0,0),(\pi,\pi),(2\pi,0),\ldots$$

То есть

$$y=\arccos(\cos x)= \begin{cases} x-2\pi k, & 2\pi k\le x\le (2k+1)\pi,\\ 2\pi(k+1)-x, & (2k+1)\pi\le x\le 2\pi(k+1), \end{cases} \quad k\in\mathbb Z.$$

2) $$y=\arcsin(\cos x)$$

Используем связь

$$\arcsin t=\frac{\pi}{2}-\arccos t.$$

Тогда

$$y=\arcsin(\cos x)=\frac{\pi}{2}-\arccos(\cos x).$$

На отрезке $$0\le x\le \pi$$ получаем

$$y=\frac{\pi}{2}-x.$$

Функция чётная и периодическая с периодом $$T=2\pi$$, поэтому её график — ломаная, проходящая через точки

$$\ldots,(-2\pi,\tfrac{\pi}{2}),(-\pi,-\tfrac{\pi}{2}),(0,\tfrac{\pi}{2}),(\pi,-\tfrac{\pi}{2}),(2\pi,\tfrac{\pi}{2}),\ldots$$

То есть

$$y=\arcsin(\cos x)= \begin{cases} \frac{\pi}{2}-x+2\pi k, & 2\pi k\le x\le (2k+1)\pi,\\ x-\frac{3\pi}{2}-2\pi k, & (2k+1)\pi\le x\le 2\pi(k+1), \end{cases} \quad k\in\mathbb Z.$$