Упр.1059 ГДЗ Колягин Ткачёва 11 класс (Алгебра)

Найти промежутки монотонности функции:

1. $$y=x^2+\frac{1}{x^2-1}$$;
2. $$y=x^2-\frac{1}{x}$$.

1. $$y=\frac{x^2+1}{x^2-1}$$

   Найдём производную:

   $$y’=\frac{(x^2+1)'(x^2-1)-(x^2+1)(x^2-1)’}{(x^2-1)^2} =\frac{2x(x^2-1)-2x(x^2+1)}{(x^2-1)^2} =\frac{-4x}{(x^2-1)^2}.$$

   Область определения:

   $$x^2-1\ne 0,\quad x\ne \pm 1.$$

   Так как $$(x^2-1)^2>0$$ при $$x\ne \pm1$$, знак производной определяется числителем $$-4x$$:

   при $$x<0$$ имеем $$y’>0$$, значит функция возрастает;
   при $$x>0$$ имеем $$y'<0$$, значит функция убывает.

   С учётом разрывов в точках $$x=\pm1$$ получаем:

   $$\text{возрастает на }(-\infty;-1)\cup(-1;0];$$

   $$\text{убывает на }[0;1)\cup(1;+\infty).$$

2. $$y=\frac{x^2-1}{x}$$

   Область определения: $$x\ne 0$$.

   Найдём производную:

   $$y’=\frac{(x^2-1)’x-(x^2-1)\cdot x’}{x^2} =\frac{2x\cdot x-(x^2-1)}{x^2} =\frac{x^2+1}{x^2}.$$

   Так как $$x^2>0$$ при $$x\ne 0$$ и $$x^2+1>0$$ при любых $$x$$, то

   $$y’>0 \quad \text{при } x\ne 0.$$

   Следовательно, функция возрастает на каждом промежутке области определения:

   $$\text{возрастает на }(-\infty;0)\cup(0;+\infty).$$

Ответ

1) $$(-\infty;-1)\cup(-1;0]$$ — возрастает, $$[0;1)\cup(1;+\infty)$$ — убывает.

2) $$(-\infty;0)\cup(0;+\infty)$$ — возрастает.