Упр.1058 ГДЗ Колягин Ткачёва 11 класс (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Колягин, Ткачёва, Фёдорова 11 класс, Просвещение: 1058. Найти тангенс угла между касательными, проведёнными к параболе у = х2 из точки (0; 9).

Найдём уравнения касательных к параболе $$y=x^2$$, проведённых из точки $$\left(0;-9\right)$$.

Производная функции:

$$y’ = 2x.$$

Пусть касательная проведена в точке с абсциссой $$x_0$$. Тогда её уравнение:

$$y = x_0^2 + 2x_0(x-x_0) = 2x_0x — x_0^2.$$

Так как касательная проходит через точку $$\left(0;-9\right)$$, получаем:

$$-9 = 2x_0\cdot 0 — x_0^2,$$

$$x_0^2 = 9,$$

$$x_0 = \pm 3.$$

Тогда угловые коэффициенты касательных:

$$k_1 = 2\cdot(-3) = -6,\qquad k_2 = 2\cdot 3 = 6.$$

Тангенс угла между прямыми находим по формуле:

$$\tan \alpha = \left|\frac{k_1-k_2}{1+k_1k_2}\right|.$$

Подставим значения:

$$\tan \alpha = \left|\frac{-6-6}{1+(-6)\cdot 6}\right| = \left|\frac{-12}{-35}\right| = \frac{12}{35}.$$

Ответ

$$\frac{12}{35}$$