Упр.1057 ГДЗ Колягин Ткачёва 11 класс (Алгебра)

Записать уравнение касательной к графику функции $$f(x)=\sqrt{x^3+1}$$ в точке с абсциссой $$x=4$$.

Найдём производную функции $$f(x)=\sqrt{x^3}+1=x^{\frac32}+1.$$

Тогда

$$f'(x)=\frac32x^{\frac12}=\frac32\sqrt{x}.$$

Вычислим значение производной в точке $$x_0=4$$:

$$f'(4)=\frac32\sqrt{4}=\frac32\cdot 2=3.$$

Найдём значение функции в этой точке:

$$f(4)=\sqrt{4^3}+1=\sqrt{64}+1=8+1=9.$$

Уравнение касательной имеет вид

$$y=f(x_0)+f'(x_0)(x-x_0).$$

Подставим найденные значения:

$$y=9+3(x-4)=9+3x-12=3x-3.$$

Ответ

$$y=3x-3.$$