Упр.1055 ГДЗ Колягин Ткачёва 11 класс (Алгебра)

1. Найти угол между осью $$Ox$$ и касательной к графику функции $$y=\frac{2}{3}\cos\left(3x-\frac{\pi}{6}\right)$$ в точке с абсциссой $$x=\frac{\pi}{3}$$.

Найдём производную функции:

$$y=\frac{2}{3}\cos\left(3x-\frac{\pi}{6}\right)$$

$$y’=\frac{2}{3}\cdot 3\cdot\left(-\sin\left(3x-\frac{\pi}{6}\right)\right)=-2\sin\left(3x-\frac{\pi}{6}\right)$$

В точке $$x=\frac{\pi}{3}$$ получаем:

$$y’\left(\frac{\pi}{3}\right)=-2\sin\left(3\cdot\frac{\pi}{3}-\frac{\pi}{6}\right)=-2\sin\left(\pi-\frac{\pi}{6}\right)=-2\sin\frac{5\pi}{6}=-2\cdot\frac{1}{2}=-1$$

Угол наклона касательной к оси $$Ox$$ находим по формуле $$\tan \alpha = y’$$:

$$\tan \alpha=-1$$

Следовательно,

$$\alpha=-\frac{\pi}{4}$$

Ответ

$$-\frac{\pi}{4}$$