Упр.1052 ГДЗ Колягин Ткачёва 11 класс (Алгебра)

Написать уравнение касательной к графику функции $$y=f(x)$$ в точке с абсциссой $$x_0$$, если:
1) $$f(x)=x\ln 2x$$, $$x_0=0{,}5$$;
2) $$f(x)=2-x$$, $$x_0=1$$.

1. Найдём производную функции $$f(x)=x\ln 2x$$:

   $$f'(x)=(x)’\ln 2x+x(\ln 2x)’=\ln 2x+x\cdot \frac{2}{2x}=\ln 2x+1.$$

   Вычислим значение функции и производной в точке $$x_0=0{,}5$$:

   $$f(0{,}5)=0{,}5\ln(2\cdot 0{,}5)=0{,}5\ln 1=0,$$

   $$f'(0{,}5)=\ln(2\cdot 0{,}5)+1=\ln 1+1=1.$$

   Уравнение касательной:

   $$y=f(x_0)+f'(x_0)(x-x_0)=0+1(x-0{,}5)=x-0{,}5.$$

2. Найдём производную функции $$f(x)=2^{-x}$$:

   $$f'(x)=-2^{-x}\ln 2=-\frac{\ln 2}{2^x}.$$

   В точке $$x_0=1$$ имеем:

   $$f(1)=2^{-1}=\frac12,$$

   $$f'(1)=-\frac{\ln 2}{2}.$$

   Уравнение касательной:

   $$y=\frac12-\frac{\ln 2}{2}(x-1).$$

   Преобразуем:

   $$y=\frac12-\frac{x\ln 2}{2}+\frac{\ln 2}{2}=\frac12(1+\ln 2-x\ln 2).$$

Ответ

1) $$y=x-0{,}5$$;

2) $$y=\frac12(1+\ln 2-x\ln 2).$$