Упр.1051 ГДЗ Колягин Ткачёва 11 класс (Алгебра)

Найти все точки графика функции $$f(x)=ex/3$$, в которых касательная к этому графику проходит через начало координат.

Пусть касательная к графику функции $$f(x)=e^{x/3}$$ проведена в точке $$x_0$$. Тогда

$$f'(x)=\frac13 e^{x/3}, \qquad f'(x_0)=\frac13 e^{x_0/3}, \qquad f(x_0)=e^{x_0/3}.$$

Уравнение касательной:

$$y=e^{x_0/3}+\frac13 e^{x_0/3}(x-x_0).$$

Так как касательная проходит через начало координат, подставим $$x=0$$ и $$y=0$$:

$$0=e^{x_0/3}+\frac13 e^{x_0/3}(0-x_0).$$

Вынесем общий множитель:

$$e^{x_0/3}\left(1-\frac{x_0}{3}\right)=0.$$

Так как $$e^{x_0/3}\neq 0$$ при любом $$x_0$$, получаем

$$1-\frac{x_0}{3}=0, \qquad x_0=3.$$

Тогда

$$y_0=f(3)=e^{3/3}=e.$$

Искомая точка графика — $$\left(3;\,e\right)$$.

Ответ

$$\left(3;\,e\right)$$