Упр.105 ГДЗ Колягин Ткачёва 11 класс (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Колягин, Ткачёва, Фёдорова 11 класс, Просвещение: 105. Доказать, что arccos (-x) = пи — arccos х.

Пусть $$y=\arccos x.$$ Тогда по определению арккосинуса

$$\cos y=x,\qquad y\in[0;\pi].$$

Рассмотрим число $$\pi-y.$$ Оно тоже принадлежит отрезку $$[0;\pi]$$, а значит, может быть значением арккосинуса. Найдём его косинус:

$$\cos(\pi-y)=-\cos y=-x.$$

Следовательно, число $$\pi-y$$ является углом из отрезка $$[0;\pi]$$, косинус которого равен $$-x$$. По определению арккосинуса получаем:

$$\arccos(-x)=\pi-y=\pi-\arccos x.$$

Тем самым равенство доказано.

Ответ

$$\arccos(-x)=\pi-\arccos x.$$